MCMC方法:机器学习中的随机近似推断
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更新于2024-08-05
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本资源聚焦于机器学习中的算法推导,特别是第十三章MCMC(Markov Chain Monte Carlo)方法,它是一种强大的数值计算工具,用于解决难以直接解析的高维概率分布问题。在给定数据集X中,隐变量Z的存在使得我们的目标是求解Z的后验分布P(Z|X),这通常是一项复杂的任务,因为隐变量的先验分布P(Z)可能不易直接采样。
MCMC的核心思想是利用马尔可夫链的性质,在一个连续或离散的状态空间中进行迭代,逐渐接近目标分布。其中一种基础采样方法是Metropolis-Hastings算法,它结合了确定性和随机性的特点。这个算法包含以下几个步骤:
1. **原始分布采样**:初始时,我们有一个原始分布p(z),但由于其复杂性,直接采样困难。通常选择一个提议分布作为辅助,如均匀分布或者高斯分布。
2. **拒绝采样**(Rejection Sampling):从提议分布中随机抽取样本,只有当样本落在原始分布p(z)的区域时才接受,否则拒绝。这种方法效率不高,尤其是在目标分布较窄而提议分布较宽时。
3. **重要性采样**(Importance Sampling):为了提高效率,我们可以选择一个更易于采样的提议分布,然后根据目标分布的概率密度函数调整采样的权重,即使直接从提议分布采样,也能间接反映目标分布。这个过程可能会涉及反函数计算,如果目标分布难以逆向转换。
4. **变种方法**:在重要性采样的基础上,有多种变种,如将多个样本点合并处理,通过调整采样策略优化算法性能。
5. **Metropolis-Hastings算法流程**:
- 从提议分布采样一个初步值Z'。
- 计算接受率α = min(1, p(Z'|X)/p(Z|X)), 其中p(Z'|X)是新样本在目标分布下的概率,p(Z|X)是当前状态的概率。
- 如果α > 1,接受新样本;否则,以概率α接受,保持当前样本。
MCMC方法在实际应用中具有广泛的适用性,特别是在贝叶斯统计、机器学习模型的参数估计以及深度学习中的后验推断等领域,是解决复杂问题的重要工具。通过迭代采样,即使无法直接获得后验分布,也可以得到近似的估计,极大地拓展了我们对隐含结构的分析能力。
2022-08-04 上传
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艾法
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