MCMC方法：机器学习中的随机近似推断

本资源聚焦于机器学习中的算法推导，特别是第十三章MCMC（Markov Chain Monte Carlo）方法，它是一种强大的数值计算工具，用于解决难以直接解析的高维概率分布问题。在给定数据集X中，隐变量Z的存在使得我们的目标是求解Z的后验分布P(Z|X)，这通常是一项复杂的任务，因为隐变量的先验分布P(Z)可能不易直接采样。 MCMC的核心思想是利用马尔可夫链的性质，在一个连续或离散的状态空间中进行迭代，逐渐接近目标分布。其中一种基础采样方法是Metropolis-Hastings算法，它结合了确定性和随机性的特点。这个算法包含以下几个步骤： 1. **原始分布采样**：初始时，我们有一个原始分布p(z)，但由于其复杂性，直接采样困难。通常选择一个提议分布作为辅助，如均匀分布或者高斯分布。 2. **拒绝采样**（Rejection Sampling）：从提议分布中随机抽取样本，只有当样本落在原始分布p(z)的区域时才接受，否则拒绝。这种方法效率不高，尤其是在目标分布较窄而提议分布较宽时。 3. **重要性采样**（Importance Sampling）：为了提高效率，我们可以选择一个更易于采样的提议分布，然后根据目标分布的概率密度函数调整采样的权重，即使直接从提议分布采样，也能间接反映目标分布。这个过程可能会涉及反函数计算，如果目标分布难以逆向转换。 4. **变种方法**：在重要性采样的基础上，有多种变种，如将多个样本点合并处理，通过调整采样策略优化算法性能。 5. **Metropolis-Hastings算法流程**： - 从提议分布采样一个初步值Z'。 - 计算接受率α = min(1, p(Z'|X)/p(Z|X)), 其中p(Z'|X)是新样本在目标分布下的概率，p(Z|X)是当前状态的概率。 - 如果α > 1，接受新样本；否则，以概率α接受，保持当前样本。 MCMC方法在实际应用中具有广泛的适用性，特别是在贝叶斯统计、机器学习模型的参数估计以及深度学习中的后验推断等领域，是解决复杂问题的重要工具。通过迭代采样，即使无法直接获得后验分布，也可以得到近似的估计，极大地拓展了我们对隐含结构的分析能力。