共振梁方程的完全共振拟周期解：理论与应用

本文标题"Quasi-periodic Solutions of Completely Resonant Forced Beam Equations"聚焦于周期性外力作用下的完全共振非线性梁方程的拟周期解的研究。作者高忆先和陈博超，分别来自东北师范大学数学与统计学院，他们的工作得到了国家自然科学基金项目NSFC Grant 11001042以及SRFDP Grant 20100043120001的支持。高忆先作为讲师，主要研究领域是动力系统，其联系方式为gaoyx643@nenu.edu.cn。 研究的核心内容围绕着非线性振动问题，即考虑方程ttu - ω^2u + f(t, u) = 0（1.1）在满足周期性空间边界条件下的小振幅拟周期解。具体分为两个情况：Case A探讨的是当外力频率为有理数时的情况，而Case B则处理频率为无理数的情形。证明方法依赖于变分Lyapunov-Schmidt分解和链接定理，这是经典分析中的两种重要工具，用于处理微分方程中的局部化问题和解决临界点理论中的存在性问题。 Lyapunov-Schmidt分解是一种数学技巧，它将一个大维度的问题分解为两个较小维度的问题，其中一个问题是全局的，另一个是局部的，使得问题的解可以通过迭代过程来寻找。链接定理则是用来解决在临界点附近寻找解的难题，通过构造一个连接路径，将两个不同的局部解连接起来，从而证明全局解的存在。 本文的贡献在于，通过对这两种方法的有效应用，研究人员能够确保在完全共振条件下，无论外力频率是理性还是无理性，都能够找到至少存在一个小振幅的拟周期解。这种结果对于理解非线性动力学系统的稳定性及其响应特性具有重要意义，特别是在工程结构如桥梁、振动器等的设计和分析中。同时，这也为进一步研究非线性振动问题的全局行为提供了理论基础。