图形变换数学基础：矢量、矩阵与运算

"本资源主要探讨了图形变换中的一个重要概念——任意轴的对称变换，内容涵盖数学基础，包括矢量、矩阵及其运算，以及在二维和三维图形变换中的应用。" 在计算机图形学中，图形变换是图像或几何形状在虚拟空间中改变位置、大小、方向或形状的过程。这个过程通常涉及到矢量和矩阵的运算。在第五章“图形变换”中，主要讲解了以下几个关键知识点： 1. **矢量**：矢量是具有大小和方向的量，通常表示为带有箭头的线段。在二维空间中，矢量通常由x和y分量表示；在三维空间中，增加z分量。矢量可以进行加法（矢量和）、数乘（一个标量乘以矢量）以及点积（两个矢量之间的内积，结果为标量）。 2. **矢量的长度**：矢量的长度也称为模，是矢量各分量平方和的平方根。长度为1的矢量被称为单位矢量，它们在图形变换中常用于标准化或归一化操作。 3. **矢量的夹角**：两个矢量之间的夹角可以通过它们的点积计算得出，夹角的余弦值等于两个矢量的点积除以它们各自的模的乘积。 4. **矢量的叉积**：叉积产生一个新的矢量，其方向与原始两个矢量构成右手系，其模等于两原矢量的长度乘积与它们夹角的正弦值。叉乘的结果可用于确定平面法向量，判断方向，以及计算面积等。 5. **矩阵**：矩阵是包含多个数的矩形阵列，用来表示线性变换，例如旋转、缩放和平移。矩阵的元素可以是任意数值，矩阵的大小由行数和列数决定，通常表示为m×n矩阵。 6. **矩阵运算**：矩阵的加法仅当两矩阵具有相同的维度时才能进行，即对应位置的元素相加。数乘是将标量乘以矩阵的每一个元素。矩阵乘法是更为复杂的运算，其规则不是简单的对应元素相乘，而是每行与另一矩阵的每列对应元素相乘再求和。 7. **图形二维变换**：在二维空间中，常见的变换包括平移、旋转、缩放和镜像。通过矩阵运算，可以实现这些变换，例如，2x2的变换矩阵可以表示旋转、缩放和平移。 8. **图形三维变换**：在三维空间中，变换矩阵扩展为4x4，除了上述基本变换外，还包括透视变换和剪切变换，这些对于构建真实感图形至关重要。 9. **光栅变换**：将几何对象从笛卡尔坐标系统转换到像素坐标系统，以便在屏幕上显示。这通常涉及投影（如透视投影和平行投影）和插值算法。 这些基础知识是图形处理和计算机图形学的基础，理解和掌握它们对于进行复杂的图形变换和建模至关重要。通过对任意轴的对称变换的理解，我们可以创建出更加复杂和逼真的图形效果。