哈工大机器学习逻辑回归：MATLAB实战与梯度下降实现

在哈尔滨工业大学的机器学习课程中，学生们被要求用MATLAB或Python实现逻辑回归算法。实验二的任务是深入理解并应用逻辑回归的基本原理，包括其数学推导和实际编程实现。 逻辑回归是一种广泛用于分类问题的线性模型，它基于sigmoid函数（也称为逻辑函数或sigmod函数）来将输入特征与目标变量之间的关系非线性映射到一个0到1的输出范围。这个函数表达式为： \[ g(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}} \] 其中 \( z = \theta_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 + \ldots \)，\( \theta \) 是模型参数，\( x \) 是输入特征向量，\( \theta_0 \) 是截距项。 实验要求学生使用梯度下降法来求解逻辑回归模型中的参数 \( \theta \)。在这个过程中，关键步骤包括： 1. **实验原理**：逻辑回归函数的推导基于贝叶斯定理，通过概率论和最大似然估计方法得到。首先，假设输入特征和输出之间的关系服从高斯分布，然后将其简化为对数几率的形式，最终通过最大化似然函数来估计参数 \( \theta \)。 2. **成本函数**：成本函数 \( J(\theta) \) 通常采用交叉熵损失函数，对于逻辑回归，它等于训练样本中预测值与真实值之间差异的平均值。函数 \( costFunction3() \) 计算了这个损失，并计算了梯度，以便进行参数优化。 3. **梯度下降算法**：`Gradient_descent()` 函数是优化的核心部分，它使用 `fminunc()` 函数调用 `costFunction3()` 来迭代地更新 \( \theta \) 的值，直到达到预设的最大迭代次数或满足收敛条件。 4. **代码实现**：给出了 `h_func()` 函数，它计算单个样本的预测值，使用了 sigmoid 函数。在 `costFunction3()` 中，计算了拟合值 \( h(x) \) 与真实值 \( y \) 的误差，并根据这些误差更新 \( \theta_1 \) 和 \( \theta_2 \) 的梯度。 5. **实验分析**：学生需要分析模型的性能，可能涉及训练误差、验证误差、模型复杂度等，以及如何调整参数以提高模型的泛化能力。 6. **绘图函数**：`functionPlotFunc()` 可能用于可视化原始数据点和逻辑回归拟合曲线，帮助理解模型在不同输入下的表现。 通过这个实验，学生可以深入了解逻辑回归的工作原理，掌握梯度下降优化算法的使用，并能够利用MATLAB实现一个基本的逻辑回归模型。此外，实践中的编程部分有助于巩固理论知识，并增强编程技能。