分布式环境下对称带状矩阵广义特征值问题的同伦连续算法

"这篇文档是关于在分布式环境下计算对称带状矩阵广义特征值问题的同伦连续算法的研究。作者魏立峰和李晓梅提出了一种新的算法，该算法利用同伦函数来追踪特征路径，尤其适用于大规模矩阵。相较于传统方法，如通过Cholesky分解或谱分解转化的问题解决方式，此算法能更好地利用矩阵的结构特性，减少计算量和存储需求。此外，算法的每条特征路径跟踪独立，具备并行计算潜力。数值实验表明，对于大矩阵，该算法在固定带宽下性能优于LAPACK的DSBGVX子程序。该工作得到了国家863-306课题基金的支持，两位作者分别在并行算法和大规模科学计算领域有所建树。" 在本文中，作者探讨了如何在分布式计算环境中有效地解决对称带状矩阵的广义特征值问题。这个问题在形式上表示为Bx = Axλ，其中A和B是具有相同半带宽r的实对称带状矩阵，B是正定的。通常，这类问题可以通过Cholesky分解或谱分解转换为标准特征值问题来解决，但这两种方法并未充分利用矩阵的对称带状结构，可能导致计算效率低下。 同伦连续算法是一种解决标准特征值问题的有效方法，也被扩展到处理广义特征值问题。该算法的核心是构建同伦函数，通过跟踪特征路径来计算原问题的特征对。在这个过程中，每一步的特征路径追踪都是独立的，这为并行计算提供了可能。文章的第二部分详细阐述了同伦函数的构造和同伦算法的实施步骤。 第三部分讨论了算法的并行化实现，这是针对分布式计算环境的关键。通过并行化，每个处理器可以独立处理一条特征路径，从而提高整体计算速度。最后，作者进行了数值实验，结果显示，当矩阵规模增大时，提出的同伦连续算法相对于LAPACK的DSBGVX子程序具有显著优势，尤其是在处理大矩阵且带宽固定的场景下。 这篇文章提供的同伦连续算法为解决对称带状矩阵的广义特征值问题提供了一个高效的分布式解决方案，对于从事集群计算和并行算法研究的人员具有较高的参考价值。