非线性方程组数值解法：不动点与牛顿迭代

本篇数值分析课程论文主要探讨的是非线性方程组的数值解法，具体聚焦于不动点迭代法和牛顿迭代法的应用。首先，非线性方程组的一般形式被介绍，它由个方程组成，其中至少有一个非线性函数。将方程组转换为寻找向量函数的不动点问题，这是求解的关键。 不动点迭代法是通过构造迭代公式来逼近非线性方程组的解，它基于压缩映射原理，假设函数在闭域上满足压缩映射条件，即存在常数使得函数值域的大小小于其定义域，那么该迭代法保证序列收敛于唯一不动点。定理1给出了关于收敛性和误差估计的重要理论基础。 实验中，以非线性方程组为例，通过构造迭代格式如，选择合适的初值向量，并使用矩阵形式，例如，如果能够证明矩阵的谱半径小于1，那么迭代会收敛。步骤一展示了如何在编程环境中实现不动点迭代方法，如Matlab中的函数budong，它接收初值x0和误差容忍度tol作为输入，通过迭代更新直到满足精度要求或者达到最大迭代次数。 牛顿迭代法部分虽然没有在部分内容中详细列出，但通常涉及求解函数的雅可比矩阵，利用牛顿-拉夫森公式进行迭代。牛顿法通常收敛速度快于不动点迭代法，但需要函数的导数信息，且初始猜测点的选择对收敛速度有较大影响。 整个实验旨在通过实践操作理解非线性方程组的数值解法，通过不动点迭代法的具体实施，学生能够掌握这种方法的基本原理、编程实现以及误差控制，同时也为后续学习其他数值解法如牛顿法打下基础。通过对比不同迭代法的性能，可以加深对数值分析算法的理解和应用能力。