最优化理论与算法引论：历史、定义与数学基础

"最优化理论与算法" 本课程主要讲解最优化理论与算法的基本概念和方法，涵盖了最优化问题的一般形式、数学基础、搜索算法等内容。 最优化理论的发展历程 最优化理论最早可以追溯到古老的极值问题，但成为一门独立的学科则是在20世纪四十年代末至五十年代初。其奠基性工作包括Fritz John最优性条件（1948）、Kuhn-Tucker最优性条件（1951）和Karush最优性条件（1939）。近几十年来最优化理论与算法发展十分迅速，应用也越来越广泛。现在已形成一个相当庞大的研究领域。 最优化问题的一般形式 最优化问题可以分为无约束最优化问题和约束最优化问题两种。 无约束最优化问题的数学形式为： min f(x) s.t. x ∈ ℝⁿ 其中，f(x)是目标函数，x是决策变量，ℝⁿ是n维实数空间。 约束最优化问题的数学形式为： min f(x) s.t. g(x) ≤ 0 h(x) = 0 其中，g(x) ≤ 0是不等式约束，h(x) = 0是等式约束。 数学基础 在最优化理论中，范数是一个非常重要的概念。范数可以分为向量范数和矩阵范数两种。 向量范数是指一个非负数，它具有以下性质： ①对所有x ∈ ℝⁿ，都有||x|| ≥ 0，且||x|| = 0当且仅当x = 0时成立。 ②对所有x, y ∈ ℝⁿ和所有α ∈ ℝ，都有||αx|| = |α| ||x||。 ③对所有x, y ∈ ℝⁿ，都有||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||。 常见的向量范数有L1范数、L2范数和L∞范数等。 矩阵范数是指一个非负数，它具有以下性质： ①对所有A ∈ ℝⁿⁿ，都有||A|| ≥ 0，且||A|| = 0当且仅当A = 0时成立。 ②对所有A, B ∈ ℝⁿⁿ和所有α ∈ ℝ，都有||αA|| = |α| ||A||。 ③对所有A, B ∈ ℝⁿⁿ，都有||A + B|| ≤ ||A|| + ||B||。 ④对所有A ∈ ℝⁿⁿ，都有||A|| = ||Aᵀ||。 ⑤对所有A ∈ ℝⁿⁿ，都有||A|| ≥ ρ(A)，其中ρ(A)是A的谱半径。 常见的矩阵范数有谱范数、列和范数和行和范数等。 搜索算法 搜索算法是最优化理论中一个非常重要的概念。搜索算法的主要目的是找到目标函数的最小值或最大值。常见的搜索算法有梯度下降算法、牛顿法和拟牛顿法等。 本课程主要讲解了最优化理论与算法的基本概念和方法，为读者提供了一个系统的学习平台。