卡尔曼滤波详解：从最小二乘到无迹变换

"这是一份关于卡尔曼滤波的自学笔记和汇报PPT，主要涵盖了卡尔曼滤波算法的基本概念、最小二乘法及其加权估计、线性最小二乘递推估计、以及非线性系统的扩展卡尔曼滤波和无迹卡尔曼滤波方法。" 卡尔曼滤波是一种用于估计动态系统状态的优化算法，尤其适用于存在噪声的数据流。它通过结合系统模型和观测数据，提供最优的估计，并且能够自适应地调整对新数据的权重，以降低不确定性。 最小二乘法是寻找最佳拟合线或曲线的一种方法，旨在最小化数据点与拟合曲线之间的残差平方和。在加权最小二乘法中，根据测量噪声的方差对数据赋予不同权重，以提高估计的准确性。当测量噪声为高斯白噪声时，可以根据其均值和协方差对数据进行加权处理。 线性最小二乘递推估计是卡尔曼滤波的基础之一，它允许在获取新的测量数据时实时更新估计，而不是等待所有数据收集完毕再进行一次性估计。这种方法利用了前一次估计的结果，提高了效率。 最小二乘的性能可以通过估计方差来衡量。卡尔曼滤波通过向前一步预测和更新两个步骤来不断优化估计值。离散卡尔曼滤波器是应用于离散时间系统的版本，它遵循最小方差原则，即射影定理，确保每次更新都能获得最小的误差。 扩展卡尔曼滤波（EKF）用于处理非线性系统。它通过泰勒级数展开非线性函数，保留一阶项，忽略高阶项，从而近似线性化非线性系统。然而，EKF的线性化过程可能导致误差，尤其是在函数非线性程度较高时。 无迹卡尔曼滤波（UKF）则提供了一种不同的方法来处理非线性问题。它不依赖于线性化，而是通过无迹变换（UT）来近似概率密度分布。UKF使用一组采样点（sigma点）来代表状态分布，这些点经过非线性函数后生成新的点集，从而计算出更新后的均值和协方差。这种方法在处理非线性问题时通常比EKF更准确，因为它能更好地保持概率分布的形状。 总结来说，这份资料详细介绍了卡尔曼滤波及其在处理线性和非线性系统中的应用，为学习者提供了深入理解这一关键滤波算法的全面视角。无论是线性的最小二乘估计，还是非线性的扩展和无迹卡尔曼滤波，都是为了在有噪声的环境中提供最精确的状态估计。