Dijkstra算法实现最短路径

"这篇文章将详细解释Dijkstra算法及其在MATLAB中的实现，用于找到图中两点之间的最短路径。" Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹格·迪科斯彻在1956年提出的，它是一种解决单源最短路径问题的有效算法。在图论中，给定一个带权重的无向图，Dijkstra算法可以找到从指定起始节点到其余所有节点的最短路径。这里的"最短路径"指的是经过的边权值之和最小的路径。 在MATLAB中，我们可以通过以下代码实现Dijkstra算法： ```matlab function[distance,path]=dijkstra(A,s,e) % 输入参数： % A: 邻接矩阵，表示图的边及权重 % s: 起始节点 % e: 终止节点 % 初始化 n = size(A,1); % 节点数量 D = A(s,:); % 起始节点到其他所有节点的距离向量，初始值为邻接矩阵的列 path = []; % 路径向量 visit = ones(1,n); % 节点可见性标记，初始化所有节点为可见 visit(s) = 0; % 起始节点不可见 parent = zeros(1,n); % 父节点向量，记录每个节点的前驱节点 % Dijkstra算法主体 for i = 1:n-1 % 对于每一个节点（除了起始节点） temp = zeros(1,n); count = 0; % 更新当前节点集合中所有节点的距离 for j = 1:n if visit(j) temp([1:count]) = D(j); else temp([1:count]) = inf; % 若节点未访问，距离设为无穷大 end count = count + 1; end % 找到当前集合中距离最小的节点 [value, index] = min(temp); j = index; visit(j) = 0; % 更新其他节点的距离，如果通过j节点能到达更短的路径 for k = 1:n if D(k) > D(j) + A(j,k) D(k) = D(j) + A(j,k); parent(k) = j; % 更新父节点 end end end % 最终距离 distance = D(e); % 构建最短路径 if parent(e) == 0 return; end % 从终点反向遍历父节点，构建最短路径 path = zeros(1,2*n); % 路径预分配 t = e; path(1) = t; count = 1; while t ~= s && t > 0 p = parent(t); path([count+1:count+1]) = p; % 添加父节点到路径 t = p; count = count + 1; end % 检查路径长度是否超出预分配长度 if count >= 2*n error(['The path preallocation length is too short.',... 'Please redefine path preallocation parameter.']); end path(1) = s; % 添加起始节点 path = path(1:count); ``` 这段代码首先通过邻接矩阵`A`来表示图，然后使用一个循环遍历所有节点，每次迭代时找到当前集合中最短距离的节点并更新其他节点的距离。最后，通过`parent`向量反向追踪构建最短路径。 请注意，这个实现假设图中没有负权边，因为Dijkstra算法不适用于存在负权边的图。如果图中包含负权边，应该使用其他算法，如Bellman-Ford或Johnson's algorithm。此外，该实现使用了邻接矩阵表示图，对于稠密图是有效的，但对于稀疏图，使用邻接列表可能会更节省空间。