计算机图形学：二维与三维几何变换

"通用固定点的缩放-计算机图形学课件第七章" 计算机图形学中的通用固定点缩放是一种常见的几何变换技术，用于调整对象在空间中的大小。这个过程涉及到三个主要步骤：对象平移、缩放操作以及将对象移回原始位置。首先，将要缩放的对象平移到坐标系的原点，这是因为原点是所有缩放变换的理想起始点，因为在这里缩放不会受到其他坐标轴的影响。然后，对对象进行缩放变换，通常是通过对每个坐标轴应用一个缩放因子来实现的。最后，将已缩放的对象沿着原来的平移路径反向移动，使其恢复到原始位置（xr，yr，zr）。 在二维几何变换中，基本的变换包括平移、旋转和缩放。平移是通过向对象的坐标添加特定的位移值（tx, ty）来实现的，这被称为平移向量。例如，一个二维点 (x, y) 平移到 (x', y') 的公式是： x' = x + tx y' = y + ty 矩阵是实现这些变换的重要工具。在二维空间中，平移可以通过一个2x2的单位矩阵加上一个2x1的平移向量矩阵来表示。同样，缩放可以通过一个2x2的对角线矩阵来表示，其中对角线元素是缩放因子。例如，如果缩放因子为 sx 和 sy，则缩放矩阵为： [ sx 0 ] [ 0 sy ] 三维几何变换则更为复杂，除了平移和缩放，还包括旋转和更复杂的变换，如反射和错切。三维变换通常涉及到4x4的矩阵，其中包含了平移、旋转和缩放的信息。 矢量是描述这些变换的基础数学概念。矢量不仅具有大小，还具有方向。它们可以进行数乘、点积和叉积等运算。点积用于计算两个矢量的夹角，叉积用于生成新的矢量，其方向垂直于输入的两个矢量，并且长度等于输入矢量构成的平行四边形的面积。此外，单位矢量是长度为1的矢量，常用于标准化或定向目的。 矩阵运算在几何变换中扮演着核心角色。矩阵的加法和数乘是直接的，但矩阵乘法遵循特定的规则，不是简单的对应元素相乘。矩阵的转置是交换矩阵的行和列，而逆矩阵允许我们执行矩阵的解逆操作，这对于解决一组线性方程或在变换过程中反转操作是必要的。 通用固定点的缩放是计算机图形学中调整物体大小的关键方法，涉及了坐标平移、缩放因子应用以及原位置恢复。这个过程利用了矢量和矩阵的概念，这些是理解和实现更复杂图形变换的基础。