∆-凸多面体支撑函数逼近研究

"这篇论文是关于数学中的函数逼近问题，特别是关于∆-凸多面体支撑函数的逼近。作者是程立新和周宇，它扩展了经典的Weierstrass定理，该定理指出在欧几里得空间中紧集上的连续函数可以用多项式进行一致逼近。" 在论文中，作者首先表明Weierstrass定理的结论同样适用于紧致的Hausdorff度量空间，这意味着不仅在欧氏空间中，而且在更广泛的度量空间背景下，连续函数的一致逼近依然成立。Hausdorff度量空间是一类重要的拓扑空间，其中两个集合的距离由它们的点之间的最大距离来定义，这允许研究比欧氏空间更复杂的几何结构。 其次，论文进一步探讨了在巴拿赫空间X的对偶空间X∗上弱星（weak-star）连续的正齐次函数的逼近问题。正齐次函数是指满足f(tx) = tf(x)对于所有实数t > 0和x的函数。论文证明了这样的函数可以被X∗中的元素集合的一般形式所逼近，即通过"∨"操作（最大值运算）组合有限个函数来逼近原函数。具体来说，对于任何给定的弱紧集K⊂X或弱星紧集K⊂X∗，存在有限个函数的组合，能够在K上一致地逼近原函数，误差可以任意小。 此外，论文还介绍了巴拿赫空间X的所有非空紧（弱紧凸）凸子集构成的赋范半群cc(X)（以及对应的弱紧版本wcc(X)），并给出了这些半群的对偶空间的表示。赋范半群是具有加法运算和范数的半群，这里的研究提供了理解这些集合在函数逼近中的作用和性质的新视角。 关键词涵盖了Weierstrass定理、函数逼近、弱连续函数、弱紧集、赋范半群以及∆-凸多面体支撑函数的差函数，这些都是论文的核心概念。中图分类号O177则将论文归类于数学分析领域。 这篇论文在函数逼近理论方面做出了重要贡献，特别是将经典结果推广到更一般的拓扑背景，并且提供了在巴拿赫空间及其对偶空间上处理复杂函数逼近的方法。这项工作对于理解连续函数在不同几何环境下的性质以及在数学分析和相关领域的应用具有重要意义。