有限元方法解线性代数方程组：高斯消去与迭代法

"有限单元法_王勖成课件7" 有限单元法是工程和科学计算中解决偏微分方程的一种数值方法，通常用于结构力学、流体力学等领域。在这一课件中，主要讨论了线性代数方程组的解法，这是有限单元法中的核心部分。线性代数方程组常常来源于有限元分析中的刚度矩阵和载荷向量。 1. 高斯消去法和三角分解法：这两种方法是求解线性代数方程组的基本算法。高斯消去法通过一系列行变换将系数矩阵转化为上三角矩阵，然后通过回代求解。三角分解法，也称为LU分解，是将系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，然后分别求解两个三角形系统的线性组合。 2. 二维等带宽存储和一维变带宽存储：这些是针对稀疏矩阵的存储策略。二维等带宽存储适用于带状矩阵，即非零元素在矩阵主对角线两侧具有固定宽度。一维变带宽存储则更灵活，适合非零元素分布不规则的情况。两者各有优缺点，等带宽存储便于访问但空间利用率低，变带宽存储节省空间但访问可能复杂。 3. 分块解法：当大型线性系统太大无法一次性处理时，可以将其划分为较小的子问题来求解。这种方法减少了内存需求和计算复杂性，尤其适用于结构或物理问题中存在自然分块的情况。 4. 迭代解法：包括超松弛迭代法、梯度法、共轭梯度法和预条件共轭梯度法。这些方法适合于大型稀疏矩阵，通过迭代逐渐接近解，通常比直接解法更节省内存，但可能需要更多的计算步数。超松弛因子影响迭代的收敛速度，对对角优势较弱的矩阵，较大的超松弛因子可能有助于收敛。 5. 节省内存和计算效率：迭代解法允许在每一步迭代中只更新部分变量，因此在编程时可以利用这种局部更新的特点，有效利用内存并减少计算开销。 6. 预条件共轭梯度法：预条件器是为了加速共轭梯度法的收敛，选择适当的预条件矩阵能够显著改善计算效率，尤其是在处理大型复杂问题时。 本课件详细阐述了这些解法的原理、步骤和应用场景，对于理解和应用有限单元法解决实际问题至关重要。同时，通过复习题的形式，强化了对这些概念的理解和应用能力。