信号与系统实验详指南：MATLAB实践与频域解析

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信号与系统实验教程是一份极具价值的参考资料，专为学生进行实验设计和理解提供清晰的引导。该教程分为两个核心部分，分别针对连续时间和离散时间信号的分析。实验一：连续时间信号与系统的时域分析本实验旨在通过实际操作加深对连续时间信号的理解，包括其时域表示方法和MATLAB在模拟中的应用。首先，实验明确了目标，即学习如何利用拉普拉斯变换和Z变换等工具分析信号特性。在实验过程中，学生们将掌握： 1. 信号的时域表示：通过示例解析函数的波形、幅度和相位，理解如何用图形和数学表达式来描述信号。 2. MATLAB仿真：通过编写代码，学生能亲手创建并可视化不同类型的连续时间信号，如正弦波、冲激响应等，以及它们的加减运算和卷积操作。 3. LTI系统的时域描述：考察线性时不变系统如何在时域中响应输入信号，包括系统函数H(s)或H(z)的物理意义和计算。实验报告要求详细记录实验步骤、观察结果和分析，强调理论知识与实践操作的结合。实验二：连续时间信号的频域分析这一部分着重于信号频率成分的研究，通过傅里叶变换深入理解信号的周期性和复杂性。具体实验内容包括： 1. 连续时间周期信号的傅里叶级数（CTFS）：学生们会学习如何将周期信号分解为不同频率的正弦波组合，了解傅里叶级数在信号分解中的作用。 2. 连续时间信号的傅里叶变换（CTFT）：实验会引导学生利用快速傅里叶变换（FFT）技术分析非周期信号的频谱，探讨信号频域特性的关键概念。整个实验教程结构严谨，从基础概念到实际操作技巧均有涵盖，是帮助学生巩固课堂理论、提升信号处理技能的重要参考文献。通过完成这些实验，学生不仅能够深化对信号与系统理论的理解，还能提高运用现代软件工具解决问题的能力。

clear,close all,

t = -5:0.01:5;

x = exp(-0.5*t).*u(t); % Generate the original signal x(t)

x1 = exp(-0.5*(t+2)).*u(t+2); % Shift x(t) to the left by 2 second to get x1(t)

x2 = exp(-0.5*(t-2)).*u(t-2); % Shift x(t) to the right by 2 second to get x2(t)

subplot(311)

plot(t,x) % Plot x(t)

grid on,

title ('Original signal x(t)')

subplot (312)

plot (t,x1) % Plot x1(t)

grid on,

title ('Left shifted version of x(t)')

subplot (313)

plot (t,x2) % Plot x2(t)

grid on,

title ('Right shifted version of x(t)')

xlabel ('Time t (sec)')

2.3.2 信号的时域反褶

对一个信号 x[n]的反褶运算在数学上表示为

y[n] = x[-n] 1.4

这种反褶运算，用 MATLAB 实现起来也是非常简单的。有多种方法可以实现信号的反褶运

算。

方法一，修改绘图函数 plot(t,x)和 stem(n,x)中的时间变量 t 和 n，即用-t 和-n 替代原来的 t

和 n，这样绘制出来的图形，看起来就是原信号经时域反褶后的版本。

方法二，直接利用原信号与其反褶信号的数学关系式来实现。这种方法最符合信号反褶运

算的实际意义。

方法三，使用 MATLAB 内部函数 fliplr()来实现信号的反褶运算。其用法如下：

y = fliplr(x)：其中 x 为原信号 x(t)或 x[n]，而 y 则为 x 的时域反褶。需要说明的是，函数

fliplr()对信号作时域反褶，仅仅将信号中各个元素的次序作了一个反转，这种反转处理是独立

于时间变量 t 和 n 的。因此，如果信号与其时间变量能够用一个数学函数来表达的话，那么建

议将时间变量 t 和 n 的范围指定在一个正负对称的时间区间即可。

2.3.3 信号的时域尺度变换

信号 x(t)的时域尺度变换在数学描述为

y(t) = x(at)， 1.5

其中 a 为任意常数。根据 a 的不同取值，这种时域尺度变换对信号 x(t)具有非常不同的影响。

当 a = 1 时，y(t) = x(t)；

当 a = -1 时，y(t) = x(-t)，即 y(t)可以通过将 x(t)反褶运算而得到；

当 a > 1 时，y(t) = x(at)，y(t)是将 x(t)在时间轴上的压缩而得到；

当 0 < a < 1 时，y(t) = x(at)，y(t)是将 x(t)在时间轴上的扩展而得到；

当 -1 < a < 0 时，y(t) = x(at)，y(t)是将 x(t)在时间轴上的扩展同时翻转而得到；

当 a < -1 时，y(t) = x(at)，y(t)是将 x(t)在时间轴上的压缩同时翻转而得到；

由此可见，信号的时域尺度变换，除了对信号进行时域压缩或扩展外，还可能包括对信号的

时域反褶运算。实际上，MATLAB 完成式 1.5 的运算，并不需要特殊的处理，按照数学上的常

规方法即能完成。

2.3.4 周期信号

在《信号与系统》课程中，周期信号是一类非常重要的信号。给定一个信号 x(t)或 x[n]，如

果满足

x(t) = x(t+kT) 1.6

x[n] = x[n+kN] 1.7

则该信号叫做周期信号。其中，k 为任意整数，T 和 N 为常数，通常称为信号的基本周期或最

小周期。

周期信号可以看作是一个时限的非周期信号经过周期延拓之后形成的。在数字信号处理中，

周期延拓这一信号处理方法非常重要。

下面的程序段，就是将一个非周期信号 x

(t) = e

-2t

[u(t)-u(t-2)]经过周期延拓之后而得到一个

周期信号：

clear, close all;

t = -4:0.001:4;

T = 2; x = 0;

for k = -2:2;

x = x+exp(-2*(t-k*T)).*(u(t-k*T)-u(t-(k+1)*T));

end

仔细阅读该程序，可以发现其算法就是：

1.8

由于 k 无法计算到无穷，而是以有限值加以替代，反映到有限宽度图形窗口中得到的效果

完全符合要求。

3 LTI 系统的时域描述

3.1 线性时不变系统

在分析 LTI 系统时，有关 LTI 系统的两个重要的性质是必须首先掌握和理解的。这就是线性

性（Linearity）和时不变性（Time-invariance）。所谓线性性就是指系统同时满足齐次性和叠

加性。这可以用下面的方法来描述。

假设系统在输入信号 x

(t)作用时的响应信号为 y

(t)，在输入信号 x

(t)作用时的响应信号为

(t)，给定两个常数 a 和 b，如果当输入信号为 x(t)时系统的响应信号为 y(t)，且满足

x(t) = x

(t) + x

(t) 1.9(a)

y(t) = y

(t) + y

(t) 1.9(b)

则该系统具有叠加性（Additivity）。如果满足

x(t) = ax

(t) 1.10(a)

y(t) = ay

(t) 1.10(b)

则该系统具有齐次性（Homogeneity）。一个系统如果是线性系统的话，那么这个系统必须同

时具有叠加性和齐次性。

又假设系统在输入信号 x(t)作用时的响应信号为 y(t)，对一个给定时间常数 t

，如果当输入

信号为 x(t-t

)时，系统的响应信号为 y(t-t

)的话，则该系统具有时不变性。

同时具有线性性和时不变性的系统，叫做线性时不变系统，简称 LTI 系统。LTI 系统有连续

时间 LTI 系统和离散时间 LTI 系统之分。连续时间系统的输入和输出信号都必须是连续时间信

号，而离散时间系统的输入和输出信号都必须是离散时间信号。

3.2 LTI 系统的单位冲激响应和卷积模型

给定一个连续时间 LTI 系统，在系统的初始条件为零时，用单位冲激信号 δ(t)作用于系统，

此时系统的响应信号称为系统的单位冲激响应（Unit impulse response），一般用 h(t)来表示。

需要强调的是，系统的单位冲激响应是在激励信号为 δ(t) 时的零状态响应（Zero-state

response）。

离散时间 LTI 系统的单位冲激响应的定义与连续时间 LTI 系统的单位冲激响应相同，只是离

散时间单位冲激函数 δ[n]的定义有所不同。

系统的单位冲激响应是一个非常重要的概念，对于一个系统，如果我们知道了该系统的单位

冲激响应，那么，该系统对任意输入信号的响应信号都可以求得。也就是说，系统的输入信号

x(t)、x[n]和输出信号 y(t)、y[n]之间的关系可以用一个数学表达式来描述，这个数学表达式为

1.11(a)

1.11(b)

这个表达式就是 LTI 系统的卷积模型，它是根据系统的线性性和时不变性以及信号可以分

解成单位冲激函数经推理得到的。这个表达式实际上告诉了我们一个重要的结论，那就是，任

意 LTI 系统可以完全由它的单位冲激响应 h(t)/h[n]来确定。由于系统的单位冲激响应是零状态

响应，故按照式 1.11 求得的系统响应也是零状态响应。式 1.11 中的积分运算叫做卷积积分，

求和运算叫做卷积和，是描述连续时间系统输入输出关系的一个重要表达式。

3.3 卷积的计算

卷积的计算通常可按下面的五个步骤进行（以卷积积分为例）：

1. 该换两个信号波形图中的横坐标，由 t 改为 τ，τ 变成函数的自变量；

2. 把其中一个信号反褶，如把 h(τ)变成 h(-τ)；

3. 把反褶后的信号做移位，移位量是 t，这样 t 是一个参变量。在 τ 坐标系中，t > 0

时图形右移， t < 0 时图形左移。

4. 计算两个信号重叠部分的乘积 x(τ)h(t-τ)；

5. 完成相乘后图形的积分。

对于两个时限信号（Time-limited signal），按照上述的五个步骤，作卷积积分运算时，关

键是正确确定不同情况下的积分限。只要正确地确定了积分限都能得到正确定积分结果。尽管

如此，在时域中计算卷积积分，总体上来说是一项比较困难的工作。

程序 convlution_demo 用来演示上述作卷积积分运算的五个步骤。本程序较为复杂，不建

议读者读懂该程序，只需执行这个程序，观看程序执行过程中有关卷积积分的运算过程，以便

于理解这五个步骤。

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