有限元分析：平面问题的离散与单元分析

"本资源是一份关于有限元分析的研究生课程讲义，由华中科技大学机械科学与工程学院的李立教授主讲，涵盖了平面问题的有限元方法。主要内容包括结构离散、单元分析、整体分析与求解等关键步骤，特别讨论了三角形和矩形单元，以及非节点载荷的处理。" 在有限元分析中，平面问题的处理是一个重要的部分，尤其在结构工程和机械设计领域。本讲义首先介绍了结构离散的概念，即将连续体通过有限个单元进行离散化，以实现数值计算的可行性。在平面问题中，三角形单元是最常用的基本元素，因其几何形状简单且能够有效地近似复杂的边界形状。 3-2部分详细阐述了单元分析，特别是三角形单元的位移函数和单元刚度矩阵。位移函数定义了单元内任意点的位移与节点位移之间的关系，而单元刚度矩阵则反映了单元内部的力与位移之间的线性关系。此外，还提到了单元刚度矩阵的物理意义和性质，这对于理解有限元求解过程至关重要。 接着，讲义提到了矩形单元，以及更复杂的六节点三角形单元，它们适用于需要更高精度的分析。非节点载荷的移置是将作用在结构上的载荷分配到各个节点的过程，确保了负载的正确传递。 整体分析阶段，讲解了如何构建整体刚度矩阵，该矩阵由所有单元刚度矩阵组合而成，并考虑了支承条件的处理。整体刚度矩阵的特点包括其对称性和正定性，这有助于确保线性方程组的唯一解。支承条件的处理是确保模型约束得以实施的关键步骤。 线性方程组求解是有限元分析的核心环节，通常采用高斯消元法或迭代方法解决。求解得到的节点位移可以进一步计算出应力和应变分布，这是评估结构性能的重要指标。 在进行有限元网格划分时，讲义强调了网格质量的重要性，如应根据应力梯度、应力集中、边界条件等因素调整网格密度。在特定位置如载荷、材料变化、厚度变化和边界附近设置节点，能提高分析的精确性。 这份讲义为学习者提供了全面的平面问题有限元分析基础，涵盖了从理论到实践的关键步骤，对于理解和应用有限元方法解决实际工程问题具有指导价值。