DFT表示的频响特性：离散信号周期性与离散频谱

第九章深入探讨了离散傅里叶变换（DFT）在信号与系统中的应用，特别是在表示频响特性方面。这一章节首先介绍了离散傅里叶级数（DFS）和快速傅里叶变换（FFT）的基本概念，它们是理解和分析离散时间信号的重要工具。 在连续时间和连续频率（非周期连续信号与连续频谱）部分，通过傅里叶变换，我们了解到连续时间信号的频谱是连续的，而非周期性的，而离散时间函数的频谱则是离散的且周期性出现。对于连续周期信号，其频谱表现为离散的频点，这与采样率和信号周期有关。 （9-57）和（9-58）公式展示了如何将连续时间信号通过内插方法转换到单位圆上的z变换，进而得到DFT表示的频响特性。这里的DFT实际上是信号频域分析的核心，它将信号在有限时间段内的周期性特征转换为频域的离散频率成分。 引入符号（9-59）可能是对特定数学运算或定义的说明，可能涉及到DFT的计算方法或者特殊变量的表示，这对于理解DFT的细节至关重要。 离散时间与连续频率的对应关系（9-5）和（9-4）强调了有限长序列在频域的离散化，以及离散频率函数与时间函数周期的关系。例如，采样定理确保了离散频率函数与时间函数的正确匹配，使得在时域和频域内，信号的周期性和离散性得以体现。 样本点序号与周期性的关系（9-7）进一步解释了如何通过有限个样本点来代表一个周期性的信号，以及如何计算每个离散频率对应的幅度。此外，还展示了在时域和频域的周期内，频谱的分布规律。 最后，（9-8）强调了频率函数的离散化特性，这是DFT与连续傅里叶变换的本质区别。DFT通常用于计算机处理中的频谱分析，因为它能将信号分解为一系列离散的频率成分，便于数据的存储和计算。 本章重点在于阐述离散傅里叶变换如何将离散时间信号的频响特性转化为易于处理的离散频率形式，并讨论了这些转换背后的理论基础，为后续的信号处理、滤波和通信系统设计提供了核心工具。