线性时间排序算法：计数排序与基数排序

"《算法导论》原版英文课件5——线性时间排序的下界、计数排序和基数排序" 这篇课件是《算法导论》的一部分，主要讨论了排序算法的时间效率极限以及两种特定的线性时间复杂度的排序算法：计数排序和基数排序。 L5.1 部分提到了线性时间排序的下界问题。在计算机科学中，决策树是一种用于分析比较排序算法效率的模型。通过构建决策树，我们可以分析在最坏情况下需要多少次比较来确定n个元素的顺序。课件中可能涉及了如何利用决策树来证明线性时间复杂度（O(n)）排序的理论下限。 L5.2 部分提出了一个问题：我们能否实现比O(nlogn)更快的比较排序算法？到目前为止，我们所见过的最好比较排序算法（如插入排序、归并排序、快速排序和堆排序）的最坏情况运行时间都是O(nlogn)。但决策树的概念可以帮助我们理解是否有可能突破这个限制。 L5.3 部分给出了一个决策树的例子，用于解释如何通过一系列比较来决定元素的顺序。每个内部节点标记为i:j，表示比较元素ai和aj。根据比较结果，元素将被分配到左子树（ai ≤ aj）或右子树（ai ≥ aj）。这个例子展示了如何通过这样的决策过程完成排序。 接下来，课件可能详细介绍了两种线性时间复杂度的排序算法： 1. 计数排序（Counting Sort）：这是一种非基于比较的排序算法，适用于整数排序。它通过统计每个输入元素值出现的次数，然后根据这些计数确定输出顺序。计数排序在最佳、平均和最坏情况下都有O(n+k)的时间复杂度，其中k是输入元素的范围。 2. 基数排序（Radix sort）：这种排序方法是基于数字的位数进行的，例如，先按最低有效位排序，然后按次低位，直到最高有效位。基数排序可以处理任意大小的整数，并且在适当条件下可以达到线性时间复杂度O(d*(n+k))，其中d是数字的最大位数，k是数字的基数。 这两部分的讲解将深入探讨这些排序算法的原理、步骤、优缺点和适用场景，帮助读者理解如何在特定情况下选择和实现高效的排序算法。 课件还可能附带了一些实际应用的例子，比如如何使用穿孔卡（punched cards）进行排序，这是早期计算机时代的一种数据存储方式，有助于理解在硬件限制下的算法设计。 《算法导论》的这一部分不仅涵盖了理论上的排序效率下界，还提供了实用的线性时间排序算法，对于学习和理解排序算法有极大的帮助。