使用最小二乘法进行线性拟合的MATLAB实现

"线性拟合--最小二乘法，含matlab源码与拟合效果图形，用于理解线性拟合的基本概念和最小二乘法的实现方式。" 线性拟合是一种统计学方法，旨在通过直线方程来近似表示一组数据点的趋势。在给定的数据集中，假设数据点 (Xi, Yi) 是通过一条直线 y = ax + b 连接的，其中 a 是斜率，b 是截距。线性拟合的目标是找到最佳的 a 和 b 值，使得这条直线尽可能接近所有的数据点。 最小二乘法是实现线性拟合的一种常用方法，它通过最小化误差平方和 Q 来确定最佳参数。误差平方和 Q 定义为所有数据点的预测值与实际值之差的平方和： Q = Σ(Yi - (axi + b))^2 对于 N 个数据点，我们可以构建一个矩阵形式的方程来求解 a 和 b。首先，定义 X 和 Y 向量： X = [1, X1, X2, ..., XN]' （包含常数项1） Y = [Y1, Y2, ...,YN]' 然后，我们可以设置以下关系： Y = X * [a; b] 这里的 * 表示矩阵乘法。我们希望找到 a 和 b 的值，使得误差平方和 Q 最小。为此，我们需要对 Q 求偏导数，并令这些偏导数等于零，这将导致以下线性系统： X' * X * [a; b] = X' * Y 这是一个超定系统（因为 X' * X 是一个 N × N 的矩阵，而 X' * Y 是一个 N × 1 的向量，N 大于 2），可以通过求解正规方程或使用数值方法（如 QR 分解、SVD 分解等）来找到 a 和 b 的最小二乘解。 在 MATLAB 中，可以使用内置的 `lsqlinear` 或 `polyfit` 函数进行线性拟合。例如，对于上述数据集，可以编写如下代码： ```matlab X = [1; 1:5]'; Y = [1.5, 1.8, 4, 3.4, 5.7]'; [a, b] = polyfit(X, Y, 1); ``` 这将返回最佳的 a 和 b 值。此外，相关系数 r 可以用来衡量拟合的好坏，它是通过计算样本协方差和标准差来得到的： r = cov(X, Y) / (std(X) * std(Y)) 在 MATLAB 中，可以使用 `corrcoef` 函数来计算相关系数： ```matlab r = corrcoef(X, Y); r(1, 2) ``` 最小二乘法不仅可以应用于简单的线性模型，还可以扩展到多项式拟合或其他形式的非线性模型。通过这种方法，我们能够估计数据的内在趋势，并进行预测或分析。 提供的资源包含了一个使用 MATLAB 实现的线性拟合示例，包括源码和拟合结果的图形展示，这对于学习和理解线性拟合和最小二乘法是十分有价值的。通过这种方式，你可以直观地看到如何使用这些方法处理实际数据并获得有意义的分析结果。