线性代数与经济应用:Larson Edwards 教材解析
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更新于2024-07-17
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"Larson Edwards的《Elementary Linear Algebra》第6版教科书涵盖了线性代数的基础知识,包括生物学、生命科学、商业与经济学、计算机与计算机科学以及电气工程等多个领域的应用实例。"
在《Elementary Linear Algebra》这本教材中,线性代数的基本概念和理论得到了详尽的阐述。线性代数是现代数学的一个核心分支,它研究向量、矩阵、线性方程组和线性变换等概念。以下是一些关键知识点:
1. **向量与矩阵**:向量表示具有大小和方向的量,可以用于表示物理世界中的力或位置。矩阵则是一个有序排列的数的集合,用于存储和操作多个向量,例如进行线性变换。
2. **线性方程组**:线性代数处理的一类基本问题,涉及解一组由未知数和常数组成的线性等式。高斯消元法和矩阵运算(如矩阵乘法和逆矩阵)是解决这类问题的常用工具。
3. **行列式**:对于方阵(行数和列数相等的矩阵),行列式是一种特殊的数值,可以用来判断矩阵是否可逆,以及求解线性方程组时是否有唯一解。
4. **特征值与特征向量**:线性变换对特定向量的作用可以被一个标量(特征值)乘以其自身所描述。特征向量与特征值一起揭示了矩阵或线性变换的内在性质。
5. **空间与子空间**:在高维空间中,向量集可能构成一个子空间,它满足封闭性条件,即向量加法和标量乘法的结果仍在子空间内。
6. **线性映射与变换**:线性映射是将一个向量空间映射到另一个向量空间的函数,保持向量加法和标量乘法的性质。线性变换是线性映射在坐标表示下的矩阵形式。
在描述中提到的各个领域中,线性代数的应用也极为广泛:
- **生物学与生命科学**:例如,人口增长模型可以使用线性代数来分析,如描述鹿和兔子种群的增长趋势,以及病毒传播的速度。
- **商业与经济学**:消费者偏好模型、需求曲线、市场研究、收益和成本分析,以及公司的利润计算,都离不开线性代数的运用,如比较不同公司的净收益和零售销售额。
- **计算机与计算机科学**:计算机图形学利用线性代数处理图像变换和渲染;在数据科学中,线性代数是机器学习算法的基础,如主成分分析(PCA)和线性回归。
- **电气工程**:电流在网络中的流动可以用线性代数的网络理论来描述,解决电路问题常常涉及节点电压法和回路电流法,这些都是线性代数的应用。
《Elementary Linear Algebra》第六版深入浅出地介绍了这些概念,并通过实际案例展示了它们在不同领域的应用,使得读者能够更好地理解和掌握线性代数这一强大的数学工具。
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oliverhope
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