NURBS详解：有理样条曲线与曲面

"有理样条曲线，全称为非均匀有理B样条（Non-Uniform Rational B-Splines，NURBS），是计算机图形学和几何建模中广泛使用的一种数学工具，用于构建复杂的曲线和曲面。NURBS模型能够精确表示各种形状，包括自由型曲线和曲面以及二次曲线和曲面。与标准B样条曲线相比，有理NURBS引入了权因子，这使得它能够更好地表示和控制形状。 有理样条曲线的定义基于控制点和权因子的概念。一个有理NURBS曲线可以用以下公式表示： \[ P(u) = \frac{\sum\limits_{k=0}^{n} \omega_k P_k B_k^d(u)}{\sum\limits_{k=0}^{n} \omega_k B_k^d(u)} \] 其中，\( P_k \) 是控制点，\( n+1 \) 是控制点的数量，\( \omega_k \) 是相应的权因子，\( B_k^d(u) \) 是基于非均匀节点的d次B样条基函数，而u是参数值。权因子决定了曲线如何分布于控制点之间：权因子越大，曲线越接近对应的控制点。 NURBS曲线的构造过程与非有理B样条相似，都需要指定控制点集合、多项式次数、权因子和节点向量。通过递归关系可以计算出混合函数，形成NURBS曲线。在实际应用中，通常使用非均匀的节点向量来增强曲线的灵活性和表达能力。 NURBS曲线的特点包括： 1. **灵活性**：能够灵活地表示各种形状，包括直线、圆弧和更复杂的曲线。 2. **局部修改**：通过调整个别控制点和权因子，可以对曲线的特定区域进行修改，而不影响全局形状。 3. **平滑性**：保证了曲线的连续性和光滑性。 4. **数据效率**：相对于其他表示方法，NURBS通常需要较少的数据来描述复杂的形状。 与标准B样条曲线相比，NURBS曲线能够精确表示抛物线之外的二次曲线，解决了B样条在表示初等曲面时的局限性。这使得NURBS成为CAD系统和3D建模软件的首选工具。 NURBS曲面则是通过组合多个NURBS曲线来构建的，同样具有上述优点。曲面的性质包括连续性、形状控制和可编辑性。形状因子在曲面建模中扮演重要角色，它们影响曲面形状的变化。 NURBS曲面表示和性质涉及到曲面的边界条件、曲率和拓扑结构。NURBS形状因子则用于调整曲面的局部形状，比如通过改变某些控制点的权因子，可以使得曲面在特定区域变薄或变厚。 NURBS曲线和曲面提供了一种强大且灵活的方式来描述和设计复杂的几何形状，广泛应用于工程设计、动画制作和计算机辅助几何设计等领域。"