概率密度函数估计详解：参数与混合高斯分布

第四讲：概率密度函数的估计是基于统计学中的一个重要概念，它在数据挖掘和机器学习领域有着广泛应用。在本讲中，由顾明亮教授于2011年3月讲解，主要内容围绕参数估计的方法，特别是针对高斯分布和混合高斯分布参数的估计。 1. **参数估计方法**： - 参数估计是统计分析的基础，它涉及到根据有限的观察数据来推断未知参数的值。常见的方法有最大似然估计（MLE）和极大后验估计（MAP）等。 2. **高斯分布参数估计**： - 高斯分布，也称正态分布，是重要的连续概率分布。其参数包括均值（μ）和方差（σ²），估计时通常使用MLE，即找到使似然函数最大的参数值。对于单峰高斯分布，这可以通过样本平均和方差来实现。 3. **混合高斯分布参数估计**： - 混合高斯分布由多个独立的高斯分布组成，每个分布有自己的参数。参数估计较为复杂，可能需要通过 Expectation-Maximization (EM) 算法来迭代求解各个高斯分量的参数以及它们在混合模型中的权重。 4. **贝叶斯分类**： - 贝叶斯分类是基于贝叶斯定理的一种分类方法。在问题一中，给出了两种贝叶斯准则，即最小错误率贝叶斯准则和最小风险贝叶斯准则。前者选择后验概率最大的类别，后者则考虑了预期损失，选择最小化风险的类别。 5. **问题二与参数估计**： - 在问题二中，不仅需要估计高斯分布的参数，而且假设类条件概率的分布形式已知。首先计算条件概率和后验概率，然后根据最小错误率或最小风险准则进行分类决策。 6. **实战应用**： - 问题三聚焦于实际场景，涉及使用训练样本（特征向量和类别标签）来估计未知分布（如正态分布的均值和协方差矩阵），然后对新样本进行分类预测。这种方法常用于无监督学习和分类任务，如朴素贝叶斯分类器。 第四讲深入探讨了如何利用统计方法估计概率密度函数，特别是在高斯分布和混合高斯分布情况下的参数估计，并将其应用于分类问题，展示了贝叶斯理论在处理不确定性数据的强大能力。理解并掌握这些方法对于理解和应用机器学习算法至关重要。