厦门大学多元微积分复习资料含答案

"厦门大学《多元微积分》期中期末复习资料（含答案）" 这份复习资料涵盖了多元微积分的重要概念和解题技巧，适合备考厦门大学相关课程的学生使用。资料内容包括选择题和填空题，涉及微分方程、方向导数、投影、平面间的距离以及函数的可微性等主题。 一、微分方程 问题1考察了微分方程的特解形式。给定的微分方程是一个线性常系数微分方程，寻找的是一个特定形式的解。正确答案需要根据微分方程的特征根来确定。选项分析表明，答案需要包含正弦和余弦函数，以及指数函数ex。最终的答案是（A）sinxcos(Ax+B) - xex，这是通过解微分方程得到的特解形式。 二、方向导数与偏导数 问题2涉及到函数z=f(x,y)在某点处的方向导数。方向导数的最小值对应于梯度矢量的正交方向，即与函数的等值线垂直的方向。根据偏导数的定义，可以求出函数在该点沿各个方向的偏导数，然后找出这些方向导数中的最小值。答案是（B）2-，这表明在某些方向上，函数的改变率最小。 三、几何投影 问题3考查了点在平面上的投影。点(1,0,1)在平面1=x+y+z上的投影需要通过解线性方程组找到。投影点的坐标应满足平面方程，同时保持在原点与投影点连线与平面垂直。答案是（B）(0,1,0)-，表示投影点位于原点与目标点连线与平面的交点。 四、平面间的距离 问题4计算两平行平面之间的距离。两平面之间的距离公式是两法向量模长的乘积除以它们的点积的绝对值。通过比较各个选项，可以得出正确答案是（A）|D|/(1-D)，这是利用平面方程的系数和常数项计算得到的。 五、函数的性质 问题5探讨了函数在某点的性质。给定的函数f(x,y)在(0,0)点的性质需要通过检验其偏导数、连续性和可微性来判断。根据函数的表达式，可以看出函数在该点的偏导数可能存在，但可能不连续，因此（B）偏导数不存在是正确的选项，而（A）可微和（D）连续但不可微是错误的。至于（C）不连续，由于题目没有给出足够的信息来断定函数是否连续，所以不能选。 二、填空题 1. 这个问题涉及向量的表示。单位向量a与x轴和z轴的夹角已知，可以根据这些信息计算出向量a的坐标。答案是(a_x, a_y, a_z)，其中a_x = cos(3π/2), a_y = cos(4π/2), a_z = cos(0)。注意，角度的选取会影响结果，因为3π/2和4π/2分别对应-π/2和0，而z轴的正向夹角是0，所以向量a的x和y分量为零，z分量为1。 2. 函数f(x,y)的极值点是函数的局部最大值或最小值点。通过求解f_x和f_y的偏导数等于零，可以找到这些点。极值点的性质需要进一步判断，如Hessian矩阵的符号，来确定是极大值还是极小值。由于题目中未提供完整的信息，无法给出具体答案，但一般方法是先求出驻点，然后分析二阶偏导数。 这份复习资料提供了多元微积分的关键概念的实际应用，帮助学生巩固知识并提高解题能力。对于每一个问题，理解微分方程的解法、方向导数的概念、投影的计算、平面间距离的公式以及函数性质的判定都是掌握多元微积分的核心。