实用计算方法与软件实验：Gauss消元法与迭代法求解线性方程组

"实验01-gauss消元法是实用计算方法与软件课程中的一个实验项目，旨在通过高斯消元法和迭代法解决线性方程组，要求学生设计算法并编写函数子程序。实验主要分为验证、演示、综合和设计四个部分，由指导教师尹强负责，并作为成绩考核的一部分。实验目标包括理解和应用高斯列主元消元法，熟悉迭代法，以及编程实现这两种方法。" 实验01的核心知识点集中在高斯消元法上，这是一种用于求解线性方程组的经典方法。高斯消元法基于线性代数中的矩阵理论，通常用于将一个线性方程组转化为阶梯形式或行简化阶梯形式，以便更直观地找到解。具体步骤如下： 1. 建立增广矩阵：将线性方程组写成增广矩阵的形式，即将系数矩阵和常数项结合在一起。 2. 行变换：通过行变换（如行交换、行倍加和行倍乘）逐步将增广矩阵变为阶梯形。在高斯消元法中，通常的目标是得到上三角矩阵，其中每一行的第一个非零元素（主元）都比它下面的元素大。 3. 回代求解：一旦得到上三角矩阵，可以通过回代法从下往上依次解出每个未知数。即从最后一行开始，用已知的解和上一行的解来求解当前行的未知数，直至解出所有未知数。 高斯列主元消元法是在高斯消元法的基础上，为避免在消元过程中出现小数值导致计算误差增大，而引入的一种优化策略。其特点在于： - 选择列主元：在每一步消元之前，先在某一行的剩余列中选取最大值作为主元，以减小计算误差。 - 行交换：如果主元不是该列的最大值，就交换行，确保主元位置的数值较大。 - 消除过程：使用消元因子调整矩阵，将主元下方的元素消为零，形成近似上三角矩阵。 在MATLAB中，可以编写函数实现高斯消元法和列主元消元法。例如，给出的MATLAB代码示例`Gauss1`函数展示了如何构建增广矩阵、进行消元操作以及回代求解。在实际编程时，需要注意矩阵运算的效率和稳定性，以及处理可能存在的无解或无穷多解的情况。 此外，实验内容还提到了迭代法求解线性方程组，这是一种不同于直接消元法的求解策略，适用于大型稀疏矩阵或当直接方法不适用时。迭代法通常包括简单的迭代如雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代，以及更复杂的迭代方法如共轭梯度法和最小二乘法等。 实验01-gauss消元法不仅涵盖了高斯消元法和列主元消元法的基本理论和实现，还强调了编程实现和迭代法的理解，是一次全面探索线性方程组求解技术的实践教学。