"2022考研数学真题解析：数学一、二、三；极限求导、函数连续性"

根据题目，我们首先需要解析给出的数学问题。考虑第一个题目： 1. 设 lim x→1 f(x)lnx = 1，则（） (A) f(1) = 0 (B) lim x→1 f(x) = 0 (C) f′(1) = 1 (D) lim x→1 f′(x) = 1 答案为 B. 根据题意，我们需要找到满足条件 lim x→1 f(x)lnx = 1 的选项。根据极限的定义，我们可以得到： lim x→1 f(x)lnx = ln1 * lim x→1 f(x) = f(1) * 0 = 0 所以只有选项 B lim x→1 f(x) = 0 才符合条件。 接下来，考虑第二个题目： 2. 设 f(u) 可导，z = xyf(y/x)，若 x ∂z/∂x y ∂z/∂y = xy(lny − lnx)，则（） (A) f(1) = 1/2，f′(1) = 0 (B) f(1) = 0，f′(1) = 1/2 (C) f(1) = 1，f′(1) = 0 (D) f(1) = 0，f′(1) = 1 答案为 B. 根据题意，我们需要找到满足条件 x ∂z/∂x y ∂z/∂y = xy(lny − lnx) 的选项。根据对偏导数的求导法则，我们有： ∂z/∂x = yf(y/x) + xyf'(y/x) ∂z/∂y = xf(y/x) + yf'(y/x) 代入 x ∂z/∂x y ∂z/∂y = xy(lny − lnx) 并整理，得到： yf(y/x) + xyf'(y/x) = xy(lny − lnx) xf(y/x) + yf'(y/x) = x(lny − lnx) 我们可以将上述两个方程进行整合和化简，得到： f(y/x) = lny − lnx xf'(y/x) = 0 根据 xf'(y/x) = 0，我们可以得出 f'(y/x) = 0，然后再将其带入 f(y/x) = lny − lnx 中，得到： lny − lnx = 0 即 y = x，所以 f(u) = f(1) = 0. 所以只有选项 B f(1) = 0，f′(1) = 1/2 符合条件。 最后，考虑第三个题目： 3. 设数列 {xn} 满足 − π^2 ≤ xn ≤ π^2 ，则（） (A) 若 lim n→∞ cos(sin xn) 存在，则 lim n→∞ xn 存在 (B) 若 lim n→∞ sin(cos xn) 存在，则 lim n→∞ xn 存在 (C) 若 lim n→∞ cos(sin xn) 存在，则 lim n→∞ sin xn 存在，但 lim n→∞ xn 不一定存在 (D) 若 lim n→∞ sin(cos xn) 存在，则 lim n→∞ ; 存在 答案为 C. 根据题意，我们需要找到满足条件的选项。首先注意到，对于任意的数列 {xn}，如果 lim n→∞ xn 存在，那么 xn 一定是有界的。然而，根据题目给出的条件 − π^2 ≤ xn ≤ π^2，我们可以确定 xn 是有界的。 现在我们需要分别分析 lim n→∞ cos(sin xn) 和 lim n→∞ sin(cos xn) 是否存在。根据三角函数的连续性，我们知道 cos(sin xn) 和 sin(cos xn) 在任意有限区间上都是连续的。由于 xn 是有界的，那么 sin xn 和 cos xn 也是有界的。 假设 lim n→∞ cos(sin xn) 存在，我们可以得出 sin xn 是有界的，即 −1 ≤ sin xn ≤ 1。然而，根据介值定理，sin xn 在任意有限区间上都可以取到无限多个值，所以无法保证 lim n→∞ xn 存在。 同样地，假设 lim n→∞ sin(cos xn) 存在，我们可以得到 cos xn 是有界的，即 −1 ≤ cos xn ≤ 1。然而，根据介值定理，cos xn 在任意有限区间上都可以取到无限多个值，所以无法保证 lim n→∞ xn 存在。 综上所述，只有选项 C 若 lim n→∞ cos(sin xn) 存在，则 lim n→∞ sin xn 存在，但 lim n→∞ xn 不一定存在 是符合条件的。 所以根据给出的题目解析，我们可以得出结论： 1. 对于第一个题目，答案为 B. 2. 对于第二个题目，答案为 B. 3. 对于第三个题目，答案为 C. 综合起来，我们可以得到以上三个题目的解析和答案。