Poisson方程广义差分法的正定性分析及其应用

本文主要探讨了Poisson方程的广义差分法中正定性的分析，该方法是一种新兴的偏微分方程数值解法。Poisson方程通常用于描述电场、热传导等问题中的分布情况，其基本形式为∇²u = f，在二维空间中，它涉及到寻找满足特定边值条件的函数u。广义差分法结合了有限元法和有限差分法的优点，既简化了计算过程，又能保持较高的精度。 论文的核心内容围绕以下几个方面展开： 1. 方法介绍：广义差分法利用多边形网格将区域划分为小的三角形单元，通过定义一个双线性型α(・，・)，它在数值解的稳定性与精度上起关键作用。通过证明α(・，・)的正定性，作者得以得出更直接的先验估计和误差估计。 2. 数学模型：论文以Poisson方程为例，构建了一个变分问题，即寻找满足一定边界条件的函数U，使得α(U，v)等于右端的源项σ'，v。这里，α(・，・)是基于梯度算子的二次形式，与函数空间Uh中的线性元空间有关。 3. 离散化处理：通过对区域Th进行拟一致性（正则性）的假设，作者引入了面积坐标系统，将函数空间Uh具体化为包含P1阶线性元的集合，每个三角形的节点和对应的对偶单元在求解过程中起到了重要作用。 4. 正定性分析：论文的核心部分是证明双线性型α(・，・)在该特定空间中的正定性，这是保证数值解稳定性与准确性的关键。这一分析对于误差估计和算法设计具有重要意义。 5. 应用领域：由于其优点，广义差分法适用于各种类型的方程求解，特别是在实际应用中，如数值模拟、工程计算等领域，它能够提供物理守恒性和局部区域的精确度。 总结起来，这篇论文深入研究了Poisson方程的广义差分法，特别是其中正定性的数学特性，这对于理解和改进数值计算方法具有理论价值和实践指导意义。通过证明α(・，・)的正定性，作者提供了有效的方法来评估和优化数值解的质量，从而提升整个计算过程的效率和准确性。