线性系统下的随机信号与白噪声分析：传输函数与卷积定理

本资源主要探讨了随机信号通过线性系统的分析，特别是关注于白噪声通过理想带通系统的处理。首先，文章概述了线性系统的基本分类，包括确定系统、随机系统（其中又区分了线性和非线性系统），以及线性时不变系统（LTIS）的概念。在LTIS中，系统的数学表示通过输入信号\( x(t) \)与系统的传输函数\( H(s) \)或其时域中的冲激响应\( h(t) \)之间的关系给出，即\( y(t) = H(s)X(s) \)或\( y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau)x(\tau)d\tau \)，其中\( X(s) \)和\( Y(s) \)分别表示输入信号和输出信号的拉普拉斯变换。 重要知识点包括： 1. **线性时不变系统**：这类系统的特点是其输出对输入的线性响应不随时间变化，其关系可以用卷积定理来描述，即在时域中，线性系统的输出是对输入信号和系统冲激响应进行卷积的结果；在频域中，输入信号的拉普拉斯变换与系统函数的乘积等于输出信号的拉普拉斯变换。 2. **白噪声通过线性系统**：这里特别强调了白噪声作为随机信号的一种，通过线性系统后，其特性会被系统特性（如滤波器或滤波特性）改变，可能表现为特定频率范围内的噪声保留或者衰减。 3. **系统稳定性与物理实现**：一个线性时不变系统被认为是稳定的，如果它的冲激响应在时间上绝对可积，并且具有因果性，即当\( t < 0 \)时，系统的响应为零。 4. **卷积定理的应用**：卷积定理是分析线性系统的重要工具，它将时域中的卷积运算映射到频域中的乘法运算，简化了复杂的信号处理过程。 5. **随机信号处理**：随机信号通过线性系统后，可能会得到复杂的行为，这取决于信号本身的统计性质和系统函数，例如，白噪声经过带通滤波器后会变成具有特定频率成分的噪声。 6. **系统分析的步骤**：资源中提到了一种分析框架，即先定义系统的输入（如随机信号或随机序列）、然后通过线性系统，最后分析输出信号的特征，如输出信号的传输函数或其在频域的表现。 通过对这些知识点的理解，我们可以深入研究如何利用线性系统理论来处理各种随机信号，包括但不限于噪声抑制、信号增强或特征提取等应用。