最小二乘问题与非线性函数拟合：实例解析

本章节主要探讨的是"曲线拟合与线性最小二乘问题"在数值分析中的应用。在实际问题中，当我们有函数在多个点上的数据，但无法找到精确的解析表达式时，会寻求一种近似方法来描述这些数据的行为。最小二乘法是一种常见的统计学和优化技术，用于找到一组参数，使得这些参数所确定的线性函数能够尽可能地接近数据点。 在具体的应用中，例如纤维强度与拉伸倍数的关系研究，我们面对一组实验测量的数据，如编号1至14的样本，每一对数据点表示纤维在特定拉伸倍数下的强度。目标是找到一个线性或多于线性的函数形式（例如多项式），通过最小化残差平方和，也就是最小化每个数据点与拟合函数之间的垂直距离的平方和，来拟合这些数据。这种问题可以表述为求解一个线性方程组： 1. 如果数据点数量(m)等于未知参数的数量(n)，即数据恰好可以由一个多项式表达，那么这称为满定问题，最小二乘解就是标准的线性方程组解。 2. 当数据点多于未知参数，即m > n，这种情况被称为超定问题。此时，最小二乘法提供了一个最佳近似解，即使得残差平方和最小，而不是找到唯一解。 最小二乘拟合的求解过程通常涉及到矩阵运算，将数据点组织成矩阵A，将待求的参数向量组成列向量b，然后求解线性系统Ax = b。在这个过程中，最小二乘解不仅是使残差最小的问题，也是一个优化问题，可以用迭代方法求解，如梯度下降法或QR分解等。 曲线拟合的重要性在于，它不仅简化了复杂关系的数学表达，而且提供了数据的简洁描述，有助于预测和理解趋势，对于科学研究和工程应用具有广泛价值。通过最小二乘法，我们可以得到一个简化的模型，这个模型能在一定程度上解释原始数据，并在新数据点上进行预测。 这一章节深入讲解了线性最小二乘问题的理论基础和实际应用，包括如何定义残差向量，如何设置和解决最小二乘问题，以及其在实际案例中的操作步骤，对于理解和应用非线性函数的拟合具有重要意义。