哈工大2013概率论与数理统计期末试题及答案解析

"2013年哈工大秋季学期概率论与数理统计期末考试题目及部分答案" 本文将详细解析给定的【标题】和【描述】中涉及的几个概率论与数理统计的知识点，包括独立事件的概率、正态分布的概率密度函数、随机变量的期望与方差、置信区间的计算以及指数分布的相关性质。 1. **独立事件的概率**： 题目中提到随机事件A, B, C相互独立，且已知它们各自发生的概率。要计算事件A, B, C至少有一个不发生的概率，可以先计算它们都发生的概率，然后用1减去这个概率。即P(ABC) = P(A) * P(B) * P(C)，再用1 - P(ABC)得到至少一个不发生的概率。 2. **正态分布**： 随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，则随机变量Y = X的概率密度函数f_Y(y)可以通过变量替换公式得到，即f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) * |g'(y)|，其中g是变量转换函数。在本例中，Y = X，所以f_Y(y) = f_X(y) = 1/√(2π) * e^(-y^2/2)。 3. **随机变量的期望与方差**： 已知随机变量X, Y的期望、方差和相关系数，要求E(X^2 + 3X*Y + 4Y^2)，这可以通过线性组合的期望和方差公式来计算。相关系数为0.4意味着X和Y不完全独立，但相关。首先计算E(X^2), E(Y^2), E(3XY)，然后应用期望的性质得到结果。 4. **置信区间的计算**： 杂质浓度服从正态分布N(μ, σ^2)，样本平均值和标准差给出，要找到μ的95%置信区间，可以使用标准正态分布的临界值。这里样本量n=4，由于样本标准差已知，可以使用t分布而不是z分布，根据t分布表找到对应0.975分位点的t值，然后用公式μ ± t * (s/√n)构建置信区间。 5. **指数分布**： 指数分布的两个独立随机变量X, Y服从参数为λ的分布，要求P(min(X, Y) ≤ 1)，这可以通过求P(X + Y > 1)的补集来得到。对于指数分布，X + Y服从参数为λ + λ的分布，因此可以计算P(X + Y > 1) = 1 - e^-(λ + λ)。 选择题部分： 1. **独立随机变量的性质**： 要使X与新的随机变量Z独立，X与Y的联合分布需满足条件，这里涉及到离散随机变量的构造。通过Z = (X+Y) mod 2，我们可以推导出Z的所有可能值及其概率，然后设置相应的p值使得P(Z|X)对所有X的值都等于P(Z)，以满足条件。 2. **概率密度函数**： 正确的概率密度函数必须满足非负、归一化等条件。在这里，只有(B)选项满足这些条件，因为它是标准正态分布的概率密度函数，其他选项要么在某些区域不非负，要么不归一。 以上是对题目涉及概率论与数理统计知识点的详细解释，涵盖了独立事件、正态分布、随机变量的期望与方差、置信区间计算以及指数分布的应用。