线性连续系统最优控制：规范形式与衰减速度

"该文档是关于线性连续系统的最优控制问题，主要讨论了如何将问题转化为规范形式，涉及系统的稳定性条件、衰减速度的概念以及LQ问题的最优化。" 在控制理论中，线性连续系统是最优控制研究的基础，其目标通常是设计控制器以使系统性能达到最优。在描述中提到的【3.6可化为规范形式的LQ问题】，LQ代表线性二次型（Linear Quadratic），这是控制系统中一类常见的优化问题，它涉及到系统状态和控制输入的二次成本函数。 一个LQ问题通常包含以下几个关键要素： 1. **状态方程**：由(A,B)描述，表示系统的动态行为，即x_dot = Ax + Bu，其中x是状态向量，A是状态矩阵，B是控制输入矩阵。 2. **性能指标**：由J表示，一般形式为J = ∫(Qx^2 + Ru^2)dt，从时间0到无穷大，其中Q是状态权重矩阵，半正定；R是控制输入权重矩阵，正定；u是控制输入；x是状态误差。 3. **衰减速度**：系统稳定性要求所有闭环极点位于复平面的左半部分，而衰减速度σ定义为系统离虚轴最近的闭环极点与虚轴的距离。较大的σ意味着更快的响应衰减。 当系统满足以下条件时，可以转化为最优化问题II： - 系统(A,B)完全能控，意味着可以找到一个反馈矩阵K使得系统在任意初始状态下都可以通过控制输入u = Kx达到任意期望的最终状态。 - 系统(A,D)完全能观，意味着可以通过观测输出y = Dx来完全了解系统的状态x。 通过适当的变换，可以将原问题转换为标准形式，即所谓的阿尔巴切夫（Algebraic Riccati Equation，ARE）问题，这个方程的解P是一个正定矩阵，它与反馈增益矩阵K有关，K可以通过Riccati方程求得，满足K = -PBT(R + BK)^{-1}BPT。 解决最优化问题II后，得到的闭环系统可以写成x_dot = (A - BK)x，这个系统的稳定性与衰减速度可以通过分析闭环极点的位置来判断。如果所有闭环极点都在虚轴左侧且距离虚轴至少为σ，那么系统具有至少为σ的衰减速度，表明系统不仅稳定，而且响应快速衰减。 该文档提供的内容是线性连续系统LQ问题的最优化方法，包括如何将问题转化为规范形式，如何确定系统的稳定性和衰减速度，以及如何通过Riccati方程计算反馈增益矩阵以实现最优控制。这些理论和技术在现代控制工程中有着广泛的应用，例如在自动控制、航空航天、机器人等领域。