Karatsuba快速乘法与Strassen矩阵乘法：递归分治算法优化

本资源主要介绍了基本分治算法中的两种重要应用——Karatsuba快速乘法和Strassen矩阵乘法，以及如何通过递归思想解决线性递推方程。作者是刘汝佳，内容选自《算法艺术与信息学竞赛》的标准课件。 1. **Karatsuba快速乘法**： - Karatsuba算法是1962年由Anatoli Karatsuba提出的一种优化的乘法算法，通过将两个n位数分解为a = a' + b'和b = a' - b'，利用递归性质ac + bd = (a'+b')(a'-b') + (a'+b')(b')，减少了乘法次数。原始的递归方程变为T(n) <= 3T(n/2) + O(n)，这使得时间复杂度降低到O(n^1.585)，相较于标准乘法的O(n^2)更快。 - 实际编程中，采用二进制表示能够更好地利用机器乘法的效率。 2. **Strassen矩阵乘法**： - Strassen算法是一种著名的矩阵乘法算法，也基于分治思想。首先将两个n×n的矩阵划分为四个子矩阵，然后通过七次（而非传统方法的n^3次）较小规模的矩阵相乘，再组合得到结果。虽然每个子问题规模减半，但由于减少的乘法次数，总的时间复杂度降到了O(n^log2(7)) ≈ O(n^2.807)，优于标准算法。 3. **求解线性递推方程**： - 对于具有递归定义的线性递推关系如Fi = a1*Fi-1 + a2*Fi-2 + … + ak*Fi-k，通过分治策略，可以使用递归代码来求解。例如，Fibonacci数列就是典型的例子。但递归实现可能导致指数时间复杂度，如Fibonacci函数的T(n) = T(n-1) + T(n-2)，其时间复杂度为O(1.618^n)。 总结，本资源深入讲解了递归与分治在数值计算（如快速乘法和矩阵乘法）以及数学问题求解（如线性递推）中的应用，展示了分治策略在优化算法效率上的优势。同时，它也提醒了在实际编程时考虑数据结构和运算符的特性，以提升算法性能。