提高连续性的多项式势函数与Metaball过渡曲线构建

"这篇文章主要探讨了如何构造势函数以创建更平滑的过渡曲线，特别是在端点处提高连续性。作者提出了一种方法，通过构建具有特定次数的多项式势函数，使得过渡曲线在端点处达到k阶连续。这种方法首先基于高阶导数公式确定势函数的条件，然后构建含有未知数的多项式，最终通过线性方程组求解得到所需的势函数。此外，为了允许形状调整，还提出了包含形状参数的混合三角势函数，该函数能在保持端点1阶连续性的同时，与被过渡曲线一侧高度匹配。实验结果显示，这两种势函数构造的过渡曲线适用于凸轮廓线的平滑处理等应用。文章涉及的关键词包括势函数、Metaball技术、过渡曲线、约束变形和平滑处理。" 文章深入研究了多项式势函数在构建过渡曲线时所面临的挑战，特别是当曲线在端点处的连续性不足时。传统多项式势函数由于次数较高，往往导致过渡曲线的连续性较低，这在某些设计需求中是不理想的。为了解决这个问题，作者从提高连续性的角度出发，提出了新的构造策略。他们利用高阶导数的原理，确立了使过渡曲线在端点达到k阶连续的势函数条件。接下来，他们构建了一个含有k+1个未知数的2k+1次多项式函数，并通过解决线性方程组来找到这个最低次数的多项式势函数。 此外，考虑到k阶连续性可能限制了过渡曲线的形状调整，研究者进一步引入了含形状参数的混合三角势函数。这种势函数的独特之处在于，它能在保持端点1阶连续性的前提下，使过渡曲线与待过渡曲线的一侧紧密贴合，增强了形状的适应性和控制性。实验验证了这两种势函数的有效性，证明它们能够用于实际的凸轮廓线平滑处理等任务，从而提高了设计的精度和美观度。 这篇研究不仅解决了过渡曲线在端点连续性上的问题，还提供了一种新的方式来优化过渡曲线的形状，以更好地适应各种几何变形和平滑处理的应用场景。这为计算机辅助设计与图形学（CAGD）领域提供了有价值的理论支持和技术手段。