Bézier曲线详解：拼接与连续性

"这篇资料主要介绍了Bezier曲线的基本概念、特性以及如何通过控制点来定义和理解Bezier曲线。" Bezier曲线是一种在计算机图形学中广泛使用的参数曲线，它由法国工程师Pierre Bézier在1962年提出，主要用于几何形状设计。这种曲线的美妙之处在于它提供了一种直观且灵活的方式来创建平滑的曲线，同时保持计算上的简单性。 Bezier曲线的核心在于它的控制点。这些控制点并不直接位于曲线上，但它们决定了曲线的形状和路径。一条Bezier曲线由一组多边形的顶点定义，这个多边形被称为特征多边形。对于一个n阶的Bezier曲线，它有n+1个控制点，其中仅第一点(P0)和最后一点(Pn)位于曲线上，其余的控制点(P1到Pn-1)则影响曲线的形状和弯曲程度。 每个控制点Pi与曲线的关系可以通过 Bernstein基函数 来描述。Bernstein基函数是多项式的形式，对于一个n阶曲线，其表达式为： \[ B_{i,n}(t) = \binom{n}{i} t^i (1-t)^{n-i} \] 这里的 \(\binom{n}{i}\) 是组合数，表示从n个不同元素中选择i个的方法数。t是一个参数，通常取值范围在[0,1]之间。通过将每个控制点Pi乘以对应的Bernstein基函数并求和，可以得到曲线在参数t处的点P(t)。 例如，一次Bezier曲线（n=1）是一个简单的线段，由两个控制点定义，它总是连接起点P0和终点P1。二次Bezier曲线（n=2）则由三个控制点定义，形成一个平滑的二次曲线，其形状受三个控制点共同影响。 在实际应用中，Bezier曲线的连续性和拼接也非常重要。为了确保曲线在拼接时光滑无断点，相邻曲线的控制点需要满足特定的关系，比如G1连续（切线连续）或G2连续（曲率连续）。这使得在设计复杂形状时，可以使用多个Bezier曲线段来构建整体的形状。 Bezier曲线作为一种强大的工具，因其灵活性和计算效率，在二维和三维图形设计、动画、CAD系统等领域有着广泛应用。通过理解和掌握Bezier曲线的原理和性质，设计师和开发者能够更加精确地创造出所需的几何形状。