椭圆曲线E:y^2=2px(x^2+1)上的正整数点研究

"窦志红的一篇论文，讨论了椭圆曲线y2=2px(x2+1)上正整数点的个数，其中p是奇素数，N(p)表示此类点的数量。论文通过初等方法和四次Diophantine方程的性质，给出了特定p值下N(p)的上界，并证明了一些关于N(p)的具体结果。" 这篇论文关注的是椭圆曲线理论中的一个特定问题，即在给定椭圆曲线E:y2=2px(x2+1)上，正整数点(x, y)的数量N(p)。这里的p是奇素数，论文的主要目标是研究N(p)的性质和上界。作者使用了初等数学方法以及四次Diophantine方程的特性，这是解决数论问题中常见的技术。 首先，论文指出当p ≡ 1 (mod 8)且p = s^2 + 32t时，其中s和t是正整数，N(p)的上界为3。这意味着在这些条件下，椭圆曲线上最多有三个正整数点。进一步，当p ≡ 1 (mod 8)但p ≠ s^2 + 32t时，N(p)的上界被确定为2。对于p ≡ 5或7 (mod 8)的情形，N(p)的上界是1。最后，如果p ≡ 3 (mod 8)，则N(p)为0，意味着在这种情况下，椭圆曲线上不存在正整数点。 这些发现是对已知结果的深化，将前人工作中的抽象概念具体化。论文特别提到了文献(1)中的结果，它证明了椭圆曲线y2=nx(x2+1)上的正整数点最多有2ω(n)-1组，其中ω(n)是n的不同素因数的个数。在本文中，作者专注于p为奇素数的特殊情况，通过实例展示了上界可以被达到，比如当p=41时，椭圆曲线确实存在3个正整数点。 这篇论文为椭圆曲线理论提供了一个新的视角，特别是在理解和计算特定类型曲线上的正整数点个数方面。这些研究成果对于数论，特别是椭圆曲线数论的领域有着重要的理论价值，有助于推动该领域的进一步研究。