独立随机变量组列的弱收敛条件与Brown运动过程

本文主要探讨了独立与$m$-相依随机变量组列在统计学中的一个重要问题——部分和过程的弱收敛性。作者陆传荣针对1982年的研究发表了一篇论文，该论文的核心贡献是提供了一个关于独立随机变量组列生成的部分和过程，即$\{X_n(t)\}$，其是否弱收敛于标准布朗运动过程$W(t)$的必要和充分条件。 首先，定理1是核心结果，它指出，对于一个给定的整值右连续增加函数$kn(t)$，如果满足以下两个条件： 1. 对于任意的$\epsilon > 0$，$\lim_{n \to \infty} P(|X_n(k_n t) - kn(t)| > \epsilon) \rightarrow 0$； 2. 存在一个$\tau > 0$，对于所有$t \in [0, \tau]$，有$F_{n,k}(x) - F_n(k_n t, x) \rightarrow t$在分布意义下，其中$F_{n,k}$是$\xi_{n,k}$的分布函数，$F_n$是部分和过程$X_n$的分布函数，那么$X_n$将弱收敛于$W(t)$。 这个定理扩展了Bilingsley和Loève之前关于Donsker定理和Lécam定理的独立变量情况，并且改进了Orey关于$m$-相依变量的情形。证明过程中，作者通过构造辅助随机变量序列$\{Y_n(t)\}$，利用Markov不等式和Chebyshev不等式来证明极限性质，从而确保了部分和过程的收敛性。 这篇论文对于理解随机过程的弱收敛理论具有重要意义，特别是在处理随机变量的依赖结构时，如$m$-相依变量，这在许多统计分析和随机过程理论的应用中都是关键环节。通过这篇工作，作者不仅提供了理论上的严谨证明，也为后续的统计建模和数据分析提供了重要的理论支持。