次线性增长下四阶非线性差分方程的周期解存在性研究

本文探讨了四阶非线性差分方程周期解的存在性问题，由孙启文和周展两位作者针对一类非线性项在无穷远处次线性增长的特定四阶非线性差分方程进行深入研究。他们利用临界点理论这一核心工具，这是一种在微分方程理论中广泛应用的方法，用于分析系统的稳定性与局部行为。 首先，研究者定义了基本概念，如自然数集N、整数集Z以及实数集R，以及向前差分算子Δ，这些都是分析差分方程的基础。他们引入了矩阵运算符号，如逆矩阵A^-1和转置矩阵T_B，这些在处理线性和非线性方程时必不可少。 文章的核心内容集中在方程（1.1）上，它是一个四阶非线性差分方程，可以看作是连续微分方程（1.2）的离散形式。相比于低阶的差分方程，高阶方程的研究较少，尤其是在次线性增长的情况下。此前，对于一阶和二阶的差分方程，已有较多学者使用临界点理论等方法进行了深入探讨。然而，在文献[4]中，关于四阶差分方程的周期解，研究集中在超线性增长的非线性项上。 本文的主要创新在于，作者将临界点理论扩展到次线性增长的四阶非线性差分方程，这是对现有研究的一个重要补充。他们提出了一个假设，即矩阵nA和方程f满足某些特定条件，这些条件可能涉及到方程的可解性、稳定性以及解的性质。 研究者通过构建连续泛函F_nz，与方程的梯度相联系，来探讨周期解的存在性。这种方法有助于揭示非线性项对周期解的影响，特别是当其增长速度较慢时。由于临界点理论能够提供系统稳定性的关键信息，通过分析临界点的存在和性质，作者可能得出了关于周期解存在的一些必要或充分条件。 孙启文和周展的工作不仅填补了四阶差分方程周期解研究的空白，还为理解非线性项不同增长情况下系统的动态行为提供了新的洞察。他们的成果有望推动相关领域进一步探索更高阶非线性差分方程的解的性质和存在性问题。