MATLAB实现：顺序高斯消元法解线性方程组

"顺序高斯消元法是求解线性方程组的一种直接方法，常用于解低阶稠密方程组。在MATLAB中，可以利用矩阵运算来实现这一算法。本文通过一个具体的3x3线性方程组例子，详细解释了高斯消元法的步骤，并展示了如何在MATLAB中进行编程实现。 高斯消元法的核心是通过行变换将系数矩阵转化为上三角矩阵，从而简化求解过程。在上述例子中，首先通过将第一行除以10并分别与第二行、第三行进行加减操作，得到新的系数矩阵。然后，对第二行进行相应处理，使其变为含未知数x3的方程。最后，通过进一步的行变换，将系数矩阵转换为上三角形，并依次解出x3、x2、x1。 在MATLAB中，可以创建系数矩阵A和常数向量b，然后利用矩阵运算进行高斯消元。以下是一个简单的MATLAB代码示例： ```matlab % 定义系数矩阵A和常数向量b A = [10 -7 0; -3 2 6; 5 -1 5]; b = [7; 4; 6]; % 构建增广矩阵 B = [A b]; % 高斯消元过程 for i = 1:size(A,1)-1 pivot = A(i,i); A(i,:) = A(i,:)/pivot; B(i,:) = B(i,:)/pivot; for j = i+1:size(A,1) multiplier = A(j,i); A(j,:) = A(j,:) - multiplier * A(i,:); B(j,:) = B(j,:) - multiplier * B(i,:); end end % 回代求解 x = zeros(size(A,2),1); for i = size(A,1):-1:1 x(i) = (B(i) - sum(A(i,1:i-1) * x))/A(i,i); end % 输出解向量x disp(x) ``` 这段代码首先构建了增广矩阵B，然后通过一个循环进行行变换，使得上部的非主对角线元素变为0，完成高斯消元。接下来，通过回代过程从下至上求解解向量x。最后，输出解向量x的值。 在实际应用中，当遇到大型稀疏方程组时，由于计算量大，直接法可能效率较低，此时更适合采用迭代法。不过，对于小规模或稠密方程组，高斯消元法是一种快速有效的解决方案。在MATLAB中，也可以使用内置函数`linsolve`或`inv`来求解线性方程组，但它们内部可能会采用更优化的算法，如LU分解或QR分解。 顺序高斯消元法是线性代数中基础且重要的解法之一，它通过矩阵运算实现了从原始方程组到上三角形方程组的转换，从而简化了求解过程。在MATLAB中，我们可以方便地利用矩阵运算和控制结构来实现这一算法，快速求得线性方程组的解。