北航数值分析大作业：幂法与反幂法求特征值

"北航数值分析计算大作业一，涉及幂法和反幂法求解线性矩阵的特征值" 本作业主要关注数值分析中的特征值计算，具体使用了幂法（Power Method）和反幂法（Inverse Power Method）来求解线性矩阵的特征值。以下是相关知识点的详细说明： 1. **幂法**: 幂法是一种用于求解实对称或复共轭对称矩阵最大模特征值的迭代方法。在给定的501x501带状线性矩阵A中，首先将其数据存储在二维数组c[5][501]中。算法的核心是迭代公式 `[pic]`，其中`v`是特征向量，`λ`是特征值，`x`是初始向量。通过不断迭代，当向量`v`的变化趋于零时，对应的`λ`即为最大模特征值。 2. **判断最大模特征值**: 在幂法中，如果某次迭代得到的向量`v`满足 `[pic]`，则表明 `[pic]` 已经非常接近最大模特征值 `[pic]`。此时，可以停止迭代并计算 `[pic]` 来确定特征值。 3. **最小模特征值与反幂法**: 一旦最大模特征值找到，可以通过反幂法计算最小模特征值。反幂法适用于求解矩阵的小特征值，尤其是当矩阵经过适当的平移后，使得新的最大特征值接近于零。对于矩阵A，可以求解 `[pic]` 的特征值，其中 `[pic]` 是A的最小模特征值。通过求解 `[pic]`，可以得到 `[pic]`。 4. **特征值的排序与性质**: 根据矩阵理论，实对称矩阵的特征值按大小排列为 `[pic]`。因此，一旦最大特征值 `[pic]` 被找到，其他特征值可以根据这一顺序依次求解。 5. **行列式的计算**: 矩阵A的行列式可以通过LU分解来求解。LU分解将矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，然后行列式 `[pic]` 可以表示为U的所有对角元素的乘积。 6. **源程序实现**: 提供的源程序包含对矩阵A进行赋值、LU分解以及特征值计算的函数。其中，`fuzhi()` 函数负责矩阵初始化，`LUDet()` 函数执行LU分解以计算行列式，`mifa()` 和 `fmifa()` 分别是幂法和反幂法的实现。 7. **全局变量与函数声明**: 全局变量如 `c[5][N]` 存储矩阵A的非零元素，常量 `EPSI` 定义了迭代过程中的收敛精度。此外，还有一些辅助函数如 `int_max2`, `int_min2` 和 `int_max3`，分别用于比较两个或三个整数的最大值和最小值。 在实际应用中，幂法和反幂法是数值线性代数中常用的特征值求解工具，尤其是在大型稀疏矩阵的情况下。这些方法依赖于迭代过程，收敛速度和稳定性受矩阵性质的影响，如谱间隙和初始向量的选择。