广义对角占优矩阵与M矩阵的新判定方法

"广义对角占优矩阵和M矩阵的判定 (1999年)" 在数学领域，尤其是计算数学和控制理论中，广义对角占优矩阵和M矩阵是非常重要的矩阵类别。广义对角占优矩阵是指一类特殊形式的矩阵，它们在数值稳定性分析、线性方程组求解以及控制系统设计等方面具有广泛的应用。M矩阵则是一种特殊的负定矩阵，其特征值全部为正或全为零，且所有的行和列和都是非负的，这使得它们在处理某些线性系统时表现出良好的性质。 该论文由郭脯娟和高益明共同撰写，他们提出了一种新的广义对角占优矩阵和M矩阵的判定准则。在原有的研究基础上，他们改进了矩阵判定的方法，从而能够更有效地识别这些特殊矩阵。论文中提到，如果一个矩阵A满足特定的条件，即存在一些子集N1和N2，使得矩阵元素的比较满足一定的不等式关系，并且能够找到适当的正对角矩阵D，使得AD仍然是广义对角占优的，那么这个矩阵A就可以被判定为广义对角占优矩阵。 具体来说，如果矩阵A的非对角元素满足一定的比值关系，即对于某个非奇异矩阵，非对角元素的绝对值小于等于对应对角元素与特定常数的乘积，且至少存在一个严格不等式，那么这个矩阵A就是广义对角占优的。这一成果不仅有助于判定广义对角占优矩阵，还可以推导出非奇矩阵的一些判定准则。 此外，论文还涉及到了M矩阵的判定。M矩阵的定义是基于其元素的性质，即矩阵的非对角元素都是非正的，而对角元素的和大于等于每一行（或列）的非对角元素的和。作者通过一系列的数学推理和引理，给出了判断一个矩阵是否为M矩阵的新方法，这对于理解和处理这类矩阵提供了更高效的方式。 论文的关键在于提出的新的判定准则，这有助于简化和加速对这类矩阵的识别过程，从而在实际问题中提高计算效率。同时，这些成果也为后续的矩阵理论研究和应用奠定了基础，特别是在数值线性代数和控制系统设计等领域具有深远的影响。