数值分析复习：MATLAB解决积分与三维图绘制问题

"北京理工大学《数值分析》复习题及答案包含了一章的积分计算和二章的追赶法求解三对角线性方程组。题目要求使用MATLAB进行数值计算和图形绘制，并给出了具体的MATLAB代码示例。" 本文主要涉及两个数值计算领域的知识点： 1. **数值积分**： - 在第一章的问题中，讨论了如何计算定积分。给定积分表达式 `∫₀¹ x^9 * e^(x-1) dx`，要求计算结果精确到6位有效数字。当n=9时，可以通过MATLAB的符号计算功能（`syms`和`int`函数）以及数值处理（`round`函数）来实现。具体步骤是定义变量，使用`int`函数求解积分，然后乘以适当倍数后四舍五入以获取指定精度的结果。 MATLAB代码示例： ``` clear >> syms x >> y = int(x^9*exp(x-1),0,1); >> round(y*10^6)/10^6; ``` 2. **图形可视化**： - 第一章中的另一个问题涉及使用MATLAB的`mesh`或`surf`命令绘制二元函数的三维图。以函数 `z = exp(-abs(x)) + cos(x+y) + 1/(x^2+y^2+1)` 为例，通过改变网格的划分密度（100, 200, 400等份），可以观察到图形的细节变化。`meshgrid`函数用于生成网格坐标，`meshc`函数则用于绘制带有颜色编码的网格图。 MATLAB代码示例： ``` for 分割数 = [100, 200, 400] [x, y] = meshgrid(-10:20/分割数:10); z = exp(-abs(x)) + cos(x+y) + 1./(x^2+y^2+1); meshc(x, y, z); end ``` 3. **追赶法求解三对角线性方程组**： - 第二章介绍了如何用MATLAB实现追赶法解决电阻电路的三对角线性方程组。追赶法是一种迭代方法，特别适用于处理具有下三角形、上三角形或者对角优势的矩阵。在给定的电阻网络问题中，电流i的值由一个三对角方程组决定，可以使用追赶法编程求解。然而，追赶法的具体实现代码并未给出，通常包括初始化边界条件，然后通过主对角线和副对角线的元素更新内部节点的电流值，直至达到收敛。 追赶法的一般步骤： - 初始化：确定边界节点的电流值。 - 迭代：对于每个内部节点，根据前一行和下一行的已知值计算当前行的电流。 - 检查收敛：比较两次迭代的电流差，如果满足预设的收敛条件，则停止迭代。 以上内容涵盖了数值积分的计算、三维图形的可视化以及三对角线性方程组的数值求解，这些都是数值分析中的基础且重要的概念。