Dijkstra算法错误与钱币兑换问题解析(算法设计作业6)
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更新于2024-08-04
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本篇文档是算法设计与分析课程的第六次作业,涉及两个主要问题:Dijkstra负边问题和钱币兑换问题,以及Kruskal算法。
1. **Dijkstra负边问题**
Dijkstra算法是一种用于求解单源最短路径问题的经典算法,它假设图中的所有边都有非负权重。然而,当图中包含负权边时,如描述中提到的,Dijkstra算法可能会出错。问题的关键在于贪心策略的选择:在计算过程中,Dijkstra算法总是选择当前距离最小的节点进行扩展。如果遇到一条负权边,使得通过这条边到达的节点比已知最近节点的距离更短,但该节点已经访问过且无法再次更新其距离,就会导致算法结果不正确。例如,文档示例中,尽管2节点的实际最短路径是通过1节点再到2节点,但由于算法的局限性,它可能得到错误的结果。
2. **钱币兑换问题**
题目涉及到硬币面额是2的幂次方(如1、2、4、8等),且目标是用最少的硬币组合兑换给定的金额。解决方案是利用二进制表示法,当目标值的二进制表示中某一位为1时,说明需要一个对应面额的硬币。例如,对于某个值,如果二进制表示的最低位是1,说明需要一枚1元的硬币。给出的`CoinsofMoney`函数通过循环检查目标值的二进制形式,每次除以2并记录需要的硬币数量,直到目标值为0。
3. **Kruskal算法**
Kruskal算法是一种用于求解最小生成树的并查集优化版本。它通过边的权值进行排序,然后逐个加入边,但只有当新加入的边连接的两个顶点不在同一个连通分量时(即它们的并查集根节点不同),才将这条边加入到最小生成树中。这样可以避免形成环路。`find`函数用于查找节点的根节点,并通过路径压缩操作确保高效查询。`cmp`函数定义了边的比较规则,确保边按其值从小到大排序。
总结起来,这次课程作业涵盖了最短路径算法Dijkstra在面对负权边时的问题解决策略,以及如何运用并查集优化的Kruskal算法来构建最小生成树,以及一个基于硬币面额特性寻找最少硬币组合的算法实现。这些知识点在实际编程和理论分析中都是非常重要的,能够帮助学生理解和掌握基本算法原理,并提升解决问题的能力。
2015-05-26 上传
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