利用介值定理证明积分第二中值定理及其推广

"用介值定理证明积分第二中值定理 (2008年) - 大庆石油学院学报 - 刘日成，宋国亮" 本文主要探讨了如何利用介值定理和积分的绝对连续性来证明积分第二中值定理，以及在无穷区间情况下的推广。积分第二中值定理是数学分析中的基本定理，对于理解和应用微积分至关重要。该定理表明，如果一个函数在某区间上可积，且另一个函数在这个区间上单调有界，那么存在至少一个点，使得该点处的函数乘积的积分等于函数在区间的端点处乘积的平均值。 在有限区间上的证明过程中，首先假设函数f(x)在[a, b]上可积，g(x)在[a, b]上单调不减且有界。通过f(x)的正部分f+(x)和负部分f-(x)，利用介值定理保证了f+(x)在区间内的积分不为零。接着，将f+(x)乘以g(x)并在区间上积分，通过比较两端点的乘积，可以得出存在某个A使得A的函数乘积积分等于两端点乘积的平均值。这里的A即为定理中的“中值”。 进一步，作者将这个定理推广到了无穷区间。在无穷区间的情况下，由于无法直接使用端点，需要对函数的性质进行适当的调整，以适应没有明确端点的情况。这里可能涉及到极限处理，确保即使在无穷区间上，依然能找到满足定理条件的“中值”点。 文章的证明方法简洁明了，仅依赖于连续函数的介值性（介值定理）和积分的绝对连续性，避免了使用Riemann积分的具体定义或者逼近序列的方法。这种方法对于理解积分第二中值定理的直观意义以及在实际问题中的应用具有一定的启示作用。 关键词: 介值定理，积分第二中值定理，积分的绝对连续性 中图分类号: 0175 文献标识码: A 文章编号: 1000-1891(2008)06-0112-03 这篇论文适合对数学分析、实变函数感兴趣的读者，特别是对积分理论和定理证明方法有深入研究需求的学者和学生。通过这种方式证明积分第二中值定理，不仅提供了新的视角，也为相关领域的研究提供了新的思路。