动态规划与IO的经典试题分析，ACMer和IO必备

动态规划试题分析是ACMer必备的技能之一。动态规划是一种通过拆分问题、定义状态和找出状态转移方程的方法，用来解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。在ACM竞赛中，经常会遇到一些动态规划的经典试题，掌握动态规划的基本原理以及应用场景对于解决这些试题是非常关键的。 在动态规划的基本原理中，最重要的就是状态和状态转移方程的定义。状态通常是指问题的某个阶段或者状态，可以用于描述问题的解和中间过程。状态转移方程则是通过当前状态和以前的状态之间的关系，将问题拆解成更小的子问题来求解。动态规划的思想就是从初始状态开始，通过不断进行状态转移，直到最终解决问题。 下面将介绍一些比较经典的动态规划试题。 首先是机器分配（HNOI’95）问题。题目要求给定n台机器和m个任务，每个任务有不同的时间。要求将任务分配给机器，使得每个机器的任务总时间最小。这个问题可以用动态规划的思想来解决，定义dp[i][j]为将前i个任务分配给j台机器的最优时间。状态转移方程是dp[i][j] = min(dp[i][j], max(dp[k][j-1], tasks_sum[k+1][i]))，其中k表示从1至i-1。这个问题的关键点在于对任务的划分和状态的定义。 接下来是最长不下降序列（HNOI’97）问题。题目要求给定一个序列，找出其中的最长不下降子序列的长度。这个问题也可以用动态规划的方法来解决，定义dp[i]为以第i个元素结尾的最长不下降子序列的长度。状态转移方程是dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)，其中j表示从1至i-1。这个问题的关键点在于对子序列的定义和状态转移方程的推导。 还有凸多边形三角划分（HNOI’97）问题。题目要求给定一个凸多边形，将其划分成若干个三角形，使得划分后的三角形所围成的面积之和最小。同样地，这个问题也可以用动态规划的方法来解决，定义dp[i][j]为从第i个顶点到第j个顶点所构成的多边形的划分使得面积之和最小。状态转移方程是dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + sum[i][j])，其中k表示从i+1至j-1。这个问题的关键点在于对多边形的划分和状态的定义。 最后是系统可靠性（HNOI’98）问题。题目要求给定一个由若干个部件组成的系统，每个部件都有自己的可靠性。要求计算整个系统的可靠性。这个问题可以用动态规划的方法来解决，定义dp[i]为前i个部件工作的可靠性。状态转移方程是dp[i] = dp[i-1] * (1 - p[i])，其中p[i]表示第i个部件失效的概率。这个问题的关键点在于对系统的可靠性的定义和状态转移方程的推导。 综上所述，动态规划试题分析是ACMer必备的技能之一。掌握动态规划的基本原理以及应用场景对于解决这些经典试题是非常重要的。通过对问题的合理拆分和状态的定义，可以找到最优的状态转移方程，并通过动态规划的思想解决问题。通过练习这些经典试题，我们可以提高动态规划的解题能力，为ACM竞赛中的问题解决提供有力的支持。