数值积分与微分方程解法

该资源是关于“5.3节数值积分和微分方程数值解”的PPT，主要探讨了如何使用数值方法求解定积分以及微分方程，特别是通过实例分析了步长和积分方法对精度的影响。 在这个PPT中，首先介绍了数值定积分的概念，用于求解图形的面积。以例5-3-1为例，它要求解由曲线y = -x^2 + 115、y = 0、x = 0和x = 10围成的图形面积。通过矩形法和梯形法进行数值积分，利用循环语句来改变步长，从而观察步长对计算精度的影响。MATLAB提供了如QUAD和QUADL这样的内置函数来计算定积分，但为了理解基本原理，这里采用自定义编程的方式进行计算。 矩形法基于函数在每个小区间上取平均值，将积分区间划分为n-1段，每段的长度为Δx，然后计算每个区间的矩形面积之和。而梯形法则利用函数在相邻两点的平均值作为区间的斜边，将区间视为梯形，然后求和所有梯形的面积。两者的主要区别在于梯形法考虑了函数在区间内的变化，因此通常比矩形法更精确。 MATLAB中，可以使用`sum`函数累加向量元素，`trapz`函数则可以直接应用梯形法求积分。在给出的程序exn531中，通过改变步长dx（分别为2、1、0.5、0.1），计算了不同步长下的矩形法（欧拉法）和梯形法的积分结果，展示了解的精度变化。 程序运行结果显示，随着步长的减小，两种方法的解逐渐接近真实值，而梯形法通常比矩形法给出更准确的结果。这表明减小步长可以提高积分的精度，而梯形法由于其几何特性，通常比矩形法更具优势。 此外，虽然这个PPT没有直接涉及微分方程的数值解，但数值积分是解决微分方程数值解的基础，因为许多微分方程可以通过积分来求解。例如，Euler方法是一种简单的常微分方程数值解法，它也是基于矩形法的思想，通过迭代计算近似解。 这份资料详细阐述了数值积分的基本概念、方法和MATLAB实现，对于理解和掌握数值计算在解决实际问题中的应用具有重要意义。