1984年非线性二点边值问题的非平凡解数量分析

本文档标题为《1984年非线性二点边值问题的非平凡解的数量》(The Number of Nontrivial Solutions of Nonlinear Two Point Boundary Value Problems)，发表在《数学研究与评论》杂志第4卷第1期，作者是郭大钧教授，来自山东大学。论文关注的是非线性二点边值问题的研究，具体问题形式为： \[ \frac{dx}{dt} = f(x), \quad \text{附条件} \quad x(0) = x(1) = 0, \] 其中$f(x)$是非负且在$[0, +\infty)$上连续，且满足$f(0) = 0$。显然，$x(t) \equiv 0$是一个平凡解。 郭大钧教授利用勒雷-沙赫德度理论探讨了当函数$f(x)$满足以下两个条件时，该问题至少存在一个非平凡解$x(t) \in C[0,1]$： 1. 当$\lim_{t \to 0^+} \frac{x(t)}{t^{\frac{1}{2}}} = 0$， 2. 且$\lim_{t \to +\infty} \frac{x(t)}{t^{\frac{3}{2}}} < \infty$， 问题(1)的非平凡解$x(t)$将在区间$(0, 1)$内恒正。证明过程涉及将边值问题转化为哈默斯坦积分方程，通过构造相应的格林函数来分析问题的性质。 这篇论文的贡献在于运用数学工具分析了这类非线性边值问题的解的性质，尤其是对于非平凡解存在的条件的严谨证明。这对于理解此类问题的解结构和解的存在性具有重要意义，同时也为后续的数值方法、理论分析以及实际应用提供了基础。对于那些对边界值问题、微分方程理论或动态系统感兴趣的读者来说，这是一篇深入且有价值的学术文章。