递归解线性递推关系中的相对误差传播分析

"这篇论文是关于线性递归关系中相对误差传播的数值分析，主要关注线性递推关系的初值问题的数值解法。作者J. OLIVER在1966年1月8日提交，发表在1967年的'Numerische Mathematik'期刊上，第9卷，第323--340页。文章提供了一个基于相对误差而不是绝对误差的直接递归错误分析，并发展了相对稳定性的理论。它扩展了MILLER的算法，适用于更广泛的二阶齐次关系，并以类似的方式分析了误差的传播。这些理论结果通过应用于特定类型的问题展示了其实用意义。" 一、引言 在数值计算中，一个关键方法是递归求解与参数相关的线性递推关系，利用已知的初始值。这种初值问题的解决需求在诸如数值解微分方程等其他领域也常见。然而，由于不精确的起始值和舍入误差的累积，计算出的解可能无法获得有用的精度，除非使用大量保护位数，这可能导致严重的计算问题。因此，确定误差累积何时构成重大计算挑战并发展避免这种不良误差行为的替代解法显得至关重要。 二、相对误差分析 该文的核心是对直接递归的相对误差分析。相对于绝对误差，相对误差更能反映数值计算中误差对解的影响程度，因为它考虑了数值的大小。通过对递推关系的分析，可以评估误差如何随着递归步骤的增加而变化。 三、相对稳定性理论 作者发展了一套相对稳定性理论，这有助于理解误差在递归过程中的动态行为。稳定性理论对于预测误差如何影响解的准确性至关重要，因为它可以帮助识别何时系统对初始条件的微小变化非常敏感。 四、MILLER算法的扩展 MILLER的算法原用于处理二阶齐次关系的误差传播。在本文中，这个算法被扩展到更广泛的情况，不仅限于二阶，而是适用于更复杂的线性递推关系。这扩展了该算法的应用范围，使得它可以处理更复杂的问题。 五、误差传播分析 通过类似的方法，论文分析了不同类型的递推关系中误差的传播模式。这有助于识别哪些情况下的误差增长会更快，以及如何设计策略来最小化这种增长。 六、应用示例 为了突出理论结果的实际意义，论文将这些理论应用于特定问题类别，展示它们如何指导实际计算中误差控制的策略。这些实例进一步证实了相对误差分析和相对稳定性理论的有效性。 这篇论文为理解和解决线性递推关系中误差传播提供了深入的洞察，为数值计算领域的误差控制提供了有价值的工具和理论基础。