图论在网络建设中的应用：最小生成树与最短路径

"网络建设-图及其应用" 网络建设中的问题常常涉及到图论，这是一个在计算机科学和数学中非常重要的理论。在这个特定的问题中，我们需要设计一个网络使得OI国的所有城市都能够通过高速网线直接或间接连接，并且使得总网线长度最小。这实际上是一个经典的最小生成树问题，可以使用图的算法来解决。 1. **图的基本概念** - 图由顶点（节点）V的集合和边E的集合构成，记作G=(V,E)。 - 在无向图中，边没有方向，任何两个相邻的顶点之间的边都是双向的。 - 在有向图中，边带有方向，从一个顶点指向另一个顶点。 2. **图的存储结构** - 常见的图存储结构包括邻接矩阵和邻接表。邻接矩阵用二维数组表示，邻接表则更节省空间，特别是对于稀疏图。 3. **图的遍历** - 广度优先搜索(BFS)和深度优先搜索(DFS)是图遍历的两种基本方法，用于访问图中所有节点。 4. **无向图的传递闭包** - 无向图的传递闭包表示图中任意两个顶点之间是否存在路径。 5. **最短路径** - 要找到两点间最短路径，可以使用Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法。在这个问题中，我们关心的是最小网线总长度，所以需要考虑所有城市的最短路径。 6. **最小生成树** - Kruskal's算法或Prim's算法可以用来找到一个图的最小生成树，即连接所有节点的树，且边的总权重最小。这个问题的关键就在于找到这样的树，使得所有城市都能通过这些边互相到达，且总长度最小。 7. **拓扑排序** - 适用于有向无环图(DAG)，在网络建设问题中不太适用，因为它涉及依赖关系的排序。 在给定的例子中，输入包含每个城市的坐标，输出是最短网线的总长度。这个问题可以通过构建一个加权无向图，然后应用最小生成树算法来解决。例如，可以使用Prim或Kruskal算法，计算每对城市之间的距离作为边的权重，最后得到的树的总权重就是最小的网线长度。 在无向图中，顶点的度表示与其相邻的边的数量，分为入度（以该顶点为终点的边数）和出度（以该顶点为起点的边数）。度数的性质在图的分析中非常重要，例如在最小生成树算法中，选择度数较低的节点可以更有效地减少总的边长度。 网络建设问题实质上是图论中的最小生成树问题，通过理解并应用相关的图算法，我们可以找出连接所有城市并使总网线长度最小的解决方案。对于给定的数据规模n<=500，以及坐标范围1<= x, y <=1000，这个问题的解决方案必须足够高效，以适应大范围的输入。