并查集与最小生成树：实现与效率优化

在杭州电子科技大学刘春英教授的ACM课程中，第7讲讨论了并查集（DisjointSet）这一关键的数据结构和算法，它是用于解决图论问题，特别是寻找连通分量、寻找根节点以及合并集合等问题的重要工具。在给定的城市人际关系问题中，需要确定最多可能存在的单位数量，通过并查集可以有效地进行计算。 并查集的核心概念是将编号为1到N的对象划分为不相交的集合，每个集合有一个代表元素。主要操作包括合并两个集合（将它们合并为一个集合）和查找元素所属集合（找到其根节点）。最初的方法（1）是使用最小编号元素标记集合，通过一个数组`set[]`来表示每个元素的集合。然而，这种方法在执行合并操作时效率较低，因为需要遍历所有元素，时间复杂度为`Θ(N)`。 为了改进效率，方法（2）采用了树结构表示每个集合。每个集合有自己的根节点，`set[]`数组记录元素与其父节点的关系。查找操作（find2()）通过路径压缩（沿着父节点链直到找到根节点）实现，时间复杂度为`Θ(α(n))`，其中`α(n)`是阿克曼函数的渐近行为，通常小于`O(n)`。合并操作（merge2()）只需更新根节点关系，时间复杂度保持在`Θ(1)`。 然而，如果频繁地进行合并操作，且树的深度差异大，可能会导致最坏情况下的时间复杂度接近`Θ(N)`。为了避免这种情况，可以通过将深度较小的树合并到深度较大的树中，以保持树的平衡，这样在平均情况下，查找和合并操作的时间复杂度可以优化至接近线性。 总结来说，实现并查集的关键在于数据结构的设计和操作的优化，通过树结构和适当的合并策略，可以在处理大量数据时提高效率。并查集在ACM编程竞赛中广泛应用，如解决最短路径问题、网络流问题等，对于提升程序设计能力具有重要意义。