利用Lagrange插值逼近解非线性热传导方程

"这篇论文是关于非线性热传导方程的数值解方法，采用Lagrange插值逼近，特别是利用Legendre-Gauss-Lobatto节点进行插值，以解决有界杆上的Neumann边值问题。" 文章详细介绍了如何利用Lagrange插值多项式来近似求解非线性热传导方程。非线性热传导方程在物理学和工程学中具有重要意义，它描述了物体内部热量传递的动态过程。在这种方程中，温度由空间和时间坐标决定，并且热传导率可能随温度变化，从而导致非线性特性。 具体来说，论文提出的方法是选择Legendre-Gauss-Lobatto节点作为插值节点，这是因为这些节点在数值分析中具有优良的性质，可以提供更稳定的插值结果。Legendre-Gauss-Lobatto节点是在[-1,1]区间内的特定节点，它们在数值积分和插值中特别有效，能减少插值误差并提高计算效率。 作者王天军和贾丽蕊构建的Lagrange插值多项式作为基函数，用于展开问题的数值解，从而逼近非线性热传导方程在有界区域上的Neumann边值问题。Neumann边值问题是指在问题的边界上给定温度梯度，而不是具体的边界温度值，这是许多实际问题中的常见情况。 论文提供了算法的详细格式，并通过数值实例验证了算法的有效性和高精度。这表明该方法不仅能准确地求解非线性热传导方程，而且其通用性使得它可以应用于其他类型的非线性问题，尤其是涉及到Neumann边值条件的问题。 此外，文章还引用了一些相关文献，比较了不同方法处理线性热传导方程的情况，指出大多数研究聚焦于Dirichlet边界条件，而Neumann边界条件在实际问题中更为普遍。因此，这项工作对于扩展对非线性热传导方程理解及其数值解法的应用范围具有重要意义。 通过使用这种基于Lagrange插值的方法，研究者能够克服传统数值解法的一些限制，例如差分法可能会引入的稳定性和精度问题，从而为解决复杂的非线性热传导问题提供了一种强大而精确的工具。