数值分析公式全览：从误差到插值法

"数值分析公式大全，包含了数值分析中的重要概念和计算方法，适用于期末复习和考研准备。" 在数值分析中，我们首先关注的是误差的度量。相对误差和绝对误差是衡量数值近似值与真实值之间差异的常用指标。相对误差e*定义为x*减去真实值x的绝对值除以真实值x，即e* = (x* - x) / x。而误差限ε*则是给定的误差最大可能范围，相对误差限εr*则是相对误差的最大可能范围，通常表示为εr* ≤ ε*/|x|。 有效数字的概念用于描述近似值的精度。一个近似值x*有n位有效数字，意味着它的误差限不超过最后一位的半个单位，并且它由n位数字表示，包括一个非零的首位数字a1，后面跟着n-1个数字ai，以及一个指数m，即x* = ±10^m × (a1 + a2 × 10^(-1) + a3 × 10^(-2) + ... + an × 10^(-n+1))。相对误差限公式表示为：如果εr* ≤ 10^(-n+1)，则x*至少有n位有效数字。 病态问题是数值分析中的一大挑战，条件数（Cp）是用来衡量这类问题敏感性的指标。当一个函数f(x)对输入x的微小变化产生大幅变化时，我们认为它是病态的。函数值f(x*)的相对误差可以用x的扰动Δx=(x-x*)来表示，相对误差比值定义为Δf/f ≈ Cp，其中Cp是条件数，反映了函数对输入变化的放大程度。 在数值插值方面，多项式插值是寻找一个多项式P(x)来逼近给定数据点的方法。线性插值是最简单的形式，通过两个数据点构造一个一次多项式，插值基函数L1由节点之间的差商给出。抛物线插值涉及三个数据点，构建二次多项式。更一般地，N次插值多项式Ln通过解一组线性方程得到，每个系数对应于一个插值条件。拉格朗日插值是构造插值多项式的一种常用方法，通过拉格朗日基多项式实现。余项公式Rn=f(x)-Ln(x) 描述了插值多项式与实际函数f(x)的偏差，其截断误差限可以通过最高阶导数的界Mn+1估算。 均差或差商是数值微分的基础，它们提供了用节点上的函数值近似导数的方法。一阶、二阶直至高阶的均差都可以通过节点上的函数值线性组合得到，并具有对称性和与节点次序无关的性质。最重要的是，n阶均差与函数在区间[a, b]内的n阶导数有关，这为数值微分提供了理论基础。 牛顿插值多项式是通过逐次生成低阶插值多项式来构建的，每次增加一个数据点，形成一个新多项式，直到达到所需的插值阶数。这种方法可以逐步构造出精确通过所有数据点的多项式。 以上就是数值分析中的关键概念和公式，涵盖了误差分析、有效数字、病态问题、多项式插值和数值微分等方面，这些知识对于理解和解决实际计算问题至关重要。