动态规划艺术:背包问题详解
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更新于2024-07-26
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"背包九讲"
本文是崔添翼(TianyiCui)编写的《背包问题九讲》的2.0beta1.2版本,它属于《动态规划的思考艺术》系列,旨在深入讲解不同类型的背包问题及其解决方案。文章通过LATEX重新制作并进行了全面修订,可以在GitHub上查看修订历史和最新版本。
1. 01背包问题
- 题目:01背包问题是最基础的背包问题,每种物品仅有一件,选择放入背包以达到最大价值。
- 基本思路:使用动态规划方法,定义状态dp[i][w]表示前i个物品装入容量为w的背包可以获得的最大价值。
- 优化空间复杂度:可以通过滚动数组来减小空间需求。
- 初始化的细节:通常从dp[0][w]和dp[i][0]开始初始化,因为不选物品或背包容量为0时价值为0。
- 常数优化:对于状态转移方程,可以避免不必要的计算,提高效率。
- 小结:01背包问题是背包问题的基础,其他类型背包问题往往能归结为此类问题。
2. 完全背包问题
- 题目:完全背包中,每种物品可以无限件,选择放入背包以达到最大价值。
- 基本思路:与01背包类似,但要考虑每种物品可以无限次选择。
- 一个简单有效的优化:对物品按单位价值排序,优先处理价值高的物品。
- 转化为01背包问题:通过将每种物品分为多个“虚拟”物品,每个“虚拟”物品只有一件,然后应用01背包的解法。
- O(VN)的算法:在物品数量V和背包容量N都较大的情况下,可以考虑更高效的算法。
- 小结:完全背包问题的关键在于处理物品无限次可选的情况。
3. 多重背包问题
- 题目:每种物品有限定的件数,选择放入背包以达到最大价值。
- 基本算法:同样基于动态规划,需要维护每个物品剩余件数的状态。
- 转化为01背包问题:将每种物品的不同件数看作不同的物品。
- 可行性问题O(VN)的算法:处理物品数量与背包容量的关系,优化查找过程。
- 小结:多重背包问题需要考虑每种物品的限制数量,算法设计相对复杂。
4. 混合三种背包问题
- 结合01、完全和多重背包问题的特性,探讨如何灵活解决这类问题。
- 通过合理转换和策略调整,可以将混合问题分解为已知类型的背包问题求解。
5. 二维费用的背包问题
- 包含两种费用(如重量和体积)的物品,需要同时满足两个维度的限制。
- 算法:扩展动态规划状态,考虑两个维度的费用限制。
- 物品总个数的限制:可能还需要限制物品的总数量,需要进一步调整算法。
- 复整数域上的背包问题:若费用为复数,则需要在复数域上进行操作。
6. 分组的背包问题
- 物品分为若干组,每组内的物品必须一起选或都不选。
- 算法:根据物品分组,构建新的动态规划状态。
7. 有依赖的背包问题
- 物品之间存在依赖关系,选择某个物品可能影响其他物品的选择。
- 简化问题:通过转化,有时可以将依赖关系转化为无依赖的背包问题。
- 较一般的问题:处理复杂的依赖关系可能需要更复杂的算法设计。
8. 泛化物品
- 定义:物品具有多个属性,每个属性都有可能影响价值。
- 泛化物品的和:如何求多个泛化物品的组合价值。
- 背包问题的泛化物品:在背包问题中处理这些物品,需要扩展状态转移方程。
9. 背包问题问法的变化
- 输出方案:不仅要求最大价值,还需要输出达到该价值的具体物品选择。
- 输出字典序最小的最优方案:在保证价值最优的情况下,寻找物品选择的字典序最小方案。
- 求方案总数:计算满足条件的方案数。
- 最优方案的总数:在特定条件下,求解最优方案的数量。
- 求次优解、第K优解:找到价值次高或第K高的解。
文章详细介绍了各种类型的背包问题,通过动态规划的视角,提供了丰富的实例和解题策略,是学习和掌握背包问题的重要参考资料。
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