MATLAB实现优化算法：牛顿法求解函数极小值

"该资源是关于使用MATLAB进行优化编程的实例，主要涉及牛顿法求解函数极小点的问题。实例中展示了如何利用MATLAB实现牛顿法的计算过程，包括梯度、海赛矩阵及其逆矩阵的计算，以及一维搜索策略，最终找到函数的最优解。" 在MATLAB优化编程中，牛顿法是一种常见的优化算法，用于寻找函数的局部极小点。在给定的实例中，我们解决的是函数 \( f(x_1, x_2) = (x_1 - 2)^4 + (x_1 - 2x_2)^2 \) 的最小值问题。牛顿法的基本思想是通过迭代更新来逐步逼近极小点，每次迭代都沿着负梯度方向，并利用海赛矩阵的逆来调整步长。 1. **初始化**：首先设置初始点 \( x_1^{(0)} \) 和 \( x_2^{(0)} \)，并设定收敛精度 \( e_0 \) 和迭代次数计数变量 \( k \)。 2. **循环判断**：设置一个收敛精度判别变量 \( e_1 \) 为1，进入循环。只要 \( e_1 > e_0 \)，表示未达到预设的收敛精度，就会继续迭代。 3. **计算梯度和海赛矩阵**：梯度 \( \nabla f = [f_x, f_y] \) 代表函数在当前点的切线方向，由函数的一阶偏导数 \( f_x \) 和 \( f_y \) 得出。海赛矩阵 \( H \) 描述了函数在当前点的曲率，由二阶偏导数组成，即 \( H = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{bmatrix} \)。 4. **一维搜索**：计算海赛矩阵的逆矩阵 \( H^{-1} \)，结合梯度 \( \nabla f \) 来确定下一个迭代点 \( x^{(k+1)} \)。通常采用如拟牛顿法中的步长选择策略，以保证沿着函数下降最快的方向移动。 5. **方向判断**：如果新点没有沿着负梯度方向移动，说明当前迭代步长可能不合适，需要调整。否则，继续进行下一迭代。 6. **收敛性检查**：计算新旧点之间的欧氏距离 \( e_1 \)，如果小于预设的收敛精度 \( e_0 \)，则认为找到极小点，结束迭代；否则，返回步骤3。 在给出的MATLAB代码中，使用 `syms` 定义符号变量，`diff` 计算偏导数，`det` 求海赛矩阵的行列式，`inv` 计算逆矩阵。程序通过用户输入初始点，然后进行迭代直到满足收敛条件。当海赛矩阵不可逆（行列式为0）或新点没有沿负梯度方向移动时，程序会提示用户重新输入初始点。 这个实例不仅展示了牛顿法的基本流程，还涉及到符号运算、矩阵操作等MATLAB编程技巧，对于理解优化算法及其在MATLAB中的实现非常有帮助。